[论文解读] Hidden automatic sequences

Jean‐Paul Allouche, F. M. Dekking+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2020

semigroups and automata theory参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一项准则，用于识别由非均匀态射生成的形态序列何时实际上为自动序列——具体而言，是某个 $ q $-自动序列。通过利用态射的关联矩阵的谱半径，并验证长度向量是左特征向量，该方法在无需显式构造的情况下确定了自动性。关键贡献是一项通用定理，用于识别形态系统中的“隐藏自动序列”，并将其应用于格里戈里丘克型群和已知序列（如利森洛克不动点）。

ABSTRACT

An automatic sequence is a letter-to-letter coding of a fixed point of a uniform morphism. More generally, we have morphic sequences, which are letter-to-letter codings of fixed points of arbitrary morphisms. There are many examples where an, a priori, morphic sequence with a \emph{non-uniform} morphism happens to be an automatic sequence. An example is the Lysënok morphism $a o aca$, $b o d$, $c o b$, $d o c$, the fixed point of which is also a 2-automatic sequence. Such an identification is useful for the description of the dynamical systems generated by the fixed point. We give several ways to uncover such hidden automatic sequences, and present many examples. We focus in particular on morphisms associated with Grigorchuk(-like) groups.

研究动机与目标

• 确定由非均匀态射定义的形态序列何时实际上为 $ q $-自动序列。
• 提供一种通用准则，以识别“隐藏自动序列”——即既是形态生成又是自动的序列。
• 将该准则应用于源自格里戈里丘克型群和已知形态系统的序列。
• 解决关于非均匀态射不动点自动性的长期悬而未决问题，例如利森洛克态射。
• 通过轨道闭包和复杂度论证，建立序列不可能为自动序列的条件。

提出的方法

• 将德金于1978年提出的定理重新表述为：若非消去态射的长度向量是其关联矩阵的左特征向量，则其不动点为 $ q $-自动序列，其中 $ q $ 为谱半径。
• 通过按图像词中位置索引符号的符号重排构造一个导出的均匀态射，从而实现自动性的传递。
• 利用安agram定理（主定理的特例）验证由非均匀态射定义的OEIS序列的自动性。
• 应用谱半径和特征向量条件，确认利森洛克态射不动点的2-自动性。
• 当谱条件不成立时，利用轨道闭包和复杂度论证证明非自动性，尤其针对Sturmian或非线性复杂度序列。
• 利用动力系统和自动序列的研究成果，比较形态结构与自动结构，特别是在自相似群的背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非均匀态射的不动点也是 $ q $-自动序列？
• RQ2 能否使用通用准则识别利森洛克态射的不动点为2-自动序列？
• RQ3 当谱条件不成立时，如何区分形态序列中哪些是自动的，哪些不是？
• RQ4 关联矩阵的特征向量和谱半径在识别隐藏自动序列中起什么作用？
• RQ5 是否存在结构或复杂度理论上的障碍，导致形态序列无法为自动序列，特别是在与格里戈里丘克群相关的序列中？

主要发现

• 利森洛克态射 $ a\to aca $, $ b\to d $, $ c\to b $, $ d\to c $ 的不动点是2-自动的，由特征向量条件和谱半径2确认。
• 伊斯特赖尔无平方序列（由非均匀态射定义）也是3-自动的，通过同一准则得到验证。
• 态射 $ a\to aca $, $ b\to bc $, $ c\to b $ 的不动点不是自动的，因为其子序列是Sturmian的，因此不可能是自动的。
• 态射 $ a\to aca $, $ c\to cd $, $ d\to c $ 的不动点不是自动的，因其导出子序列具有Sturmian性质。
• 具有无理字母频率的序列（如Fibonacci序列）不是自动的，这证实了自动性对有理频率的必要性。
• Anagram定理提供了一种实用方法，通过检查长度向量上的特征向量条件，验证OEIS中形态序列的自动性。