[论文解读] Hidden cliques and the certification of the restricted isometry property

Pascal Koiran, Anastasios Zouzias|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2012

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 17被引用 5

一句话总结

该论文建立了对传感矩阵的受限等距性质（RIP）参数进行近似计算的计算难度，表明在隐藏团问题困难的假设下，不存在多项式时间算法能够区分RIP参数较小的矩阵与RIP参数显著更大的矩阵。此外，该文提出了一种懒惰枚举算法，可突破√n的限制，实现对RIP验证的准多项式时间改进。

ABSTRACT

Compressed sensing is a technique for finding sparse solutions to underdetermined linear systems. This technique relies on properties of the sensing matrix such as the restricted isometry property. Sensing matrices that satisfy this property with optimal parameters are mainly obtained via probabilistic arguments. Deciding whether a given matrix satisfies the restricted isometry property is a non-trivial computational problem. Indeed, we show in this paper that restricted isometry parameters cannot be approximated in polynomial time within any constant factor under the assumption that the hidden clique problem is hard. Moreover, on the positive side we propose an improvement on the brute-force enumeration algorithm for checking the restricted isometry property.

研究动机与目标

• 研究传感矩阵的受限等距性质（RIP）验证或近似的计算复杂度。
• 确定是否存在高效算法用于认证RIP参数，特别是当传统方法失效的√n阈值以上区域。
• 通过分析算法认证的可行性，弥合RIP矩阵的概率构造与显式、可认证构造之间的差距。
• 建立RIP验证与隐藏团问题之间的联系，从而将图论中的困难性假设转移到压缩感知领域。

提出的方法

• 利用从隐藏团问题到区分RIP参数较小与较大的矩阵问题的归约。
• 构造一个分块对角矩阵 $ C'(G) = \begin{pmatrix} C(G) & 0 \\ 0 & B_n \end{pmatrix} $，其中 $ C(G) $ 编码图 $ G $，而 $ B_n $ 是一个以高概率满足RIP的随机矩阵。
• 利用若 $ G $ 包含一个大团，则 $ C(G) $ 无法满足大参数的RIP；否则，其满足小参数的RIP这一事实。
• 应用集中结果（例如定理2）表明，对于某些 $ k $ 和 $ \delta $，随机矩阵 $ B_n $ 以高概率满足RIP。
• 采用假设 $ H'_{\epsilon} $，即不存在多项式时间算法可在 Erdős–Rényi 随机图 $ G(n,1/2) $ 中检测大小为 $ n^{1/2 - \epsilon} $ 的团。
• 通过证明假设的多项式时间算法能够区分RIP参数将与隐藏团假设矛盾，从而推导出困难性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在多项式时间内以任意常数因子近似矩阵的受限等距性质（RIP）参数？
• RQ2 是否存在验证 $ k > \sqrt{n} $ 阶矩阵RIP的计算障碍，若存在，其根源是什么？
• RQ3 对检查RIP的暴力枚举算法的改进程度如何，是否可使其突破 $ \sqrt{n} $ 障碍？
• RQ4 隐藏团问题的困难性与压缩感知中认证RIP参数复杂度之间有何关联？

主要发现

• 在假设 $ H'_{\epsilon} $ 下，不存在多项式时间算法能够区分RIP参数为 $ \delta = n^{-5\epsilon/4 + \epsilon^2/2} $ 的矩阵与RIP参数 $ \geq n^{-\epsilon}/4 $ 的矩阵，其中 $ k = n^{(1-2\epsilon)(1-\epsilon)} $。
• 该困难性结果适用于大小为 $ 2n \times 100n $ 的矩阵，表明即使对于长方形矩阵，RIP参数近似也是困难的。
• 提出一种懒惰枚举算法，通过仅处理大小 $ l < k $ 的较小子空间，避免完整的 $ \binom{N}{k} $ 枚举，从而实现在 $ \sqrt{n} $ 障碍之外的准多项式时间验证。
• 建立了理论权衡：通过较低阶的RIP参数实现给定的 $ k $ 和 $ \delta $ 即足够，从而支持递归或迭代的认证策略。
• 对于 $ k = n^{1/3} $，本文表明在 $ H_{1/6} $ 假设下，区分 $ \delta_1 = n^{-1/4} $ 与 $ \delta_2 = n^{-1/6}/4 $ 是困难的，展示了该困难性框架的稳健性。
• 结果表明，除非隐藏团假设不成立，否则对大多数随机矩阵在 $ \delta \to 0 $ 且 $ n \to \infty $ 时认证RIP仍为计算上不可行。