[论文解读] Hidden Nambu mechanics - A variant formulation of Hamiltonian systems -

A. Horikoshi, Yoshiharu Kawamura|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2013

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 1被引用 52

一句话总结

本文提出了一种使用冗余变量的 Nambu 力学新形式化方法，表明任何哈密顿系统均可重铸为包含原始哈密顿量和诱导约束的广义 Nambu 对易括号的 Nambu 系统。主要贡献是一个统一框架：通过引入额外自由度的扩展相空间，可实现 Nambu 动力学，该方法甚至适用于具有第一类约束的系统，并可导出相应的配分函数。

ABSTRACT

We propose a variant formulation of Hamiltonian systems by the use of variables including redundant degrees of freedom. We show that Hamiltonian systems can be described by extended dynamics whose master equation is the Nambu equation or its generalization. Partition functions associated with the extended dynamics in many degrees of freedom systems are given. Our formulation can also be applied to Hamiltonian systems with first class constraints.

研究动机与目标

• 使用具有冗余自由度的变量，发展哈密顿系统的变体形式化。
• 证明此类系统可由包含多个哈密顿量和约束的广义主方程描述的 Nambu 动力学来表述。
• 将该形式化方法推广至多体系统及具有第一类约束的系统。
• 为多自由度扩展动力学中的配分函数进行推导。
• 通过变量重定义，在标准哈密顿力学与 Nambu 力学之间建立桥梁。

提出的方法

• 将 N ≥ 3 个变量 (x₁,…,xₙ) 作为基本自由度，其与正则 (q,p) 变量函数相关。
• 从 xᵢ 与 (q,p) 之间的函数依赖关系中导出诱导约束，并将其视为额外的守恒量。
• 使用包含原始 H 和约束的 N−1 个哈密顿量的广义 Nambu 方程来表述时间演化。
• 利用 N 维雅可比行列式定义 Nambu 对易括号以表达动力学。
• 应用 Dirac 的约束形式化方法处理扩展相空间中的第一类约束。
• 通过将路径积分方法推广至 Nambu 动力学，构建扩展 Nambu 系统的配分函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 哈密顿系统能否通过使用冗余变量的 Nambu 力学进行重表述？
• RQ2 由变量冗余引起的约束如何影响 Nambu 动力学？
• RQ3 Nambu 形式化能否推广至同时包含原始哈密顿量和诱导约束作为动力学生成元？
• RQ4 在扩展的 Nambu 形式化中，配分函数的结构是什么？
• RQ5 Nambu 形式化如何处理具有第一类约束的系统？

主要发现

• 任何具有正则变量 (q,p) 的哈密顿系统均可重铸为 N ≥ 3 个变量 (x₁,…,xₙ) 的 Nambu 系统，其动力学由广义 Nambu 方程控制。
• 由变量冗余诱导的约束在 Nambu 框架中表现为额外的哈密顿量，从而形成包含 N−1 个哈密顿量的一致 Nambu 方程。
• 任意函数 ƒ(x₁,…,xₙ) 的时间演化通过广义哈密顿量（包括原始 H 和约束函数 G_c）与 Nambu 对易括号表达。
• 该形式化方法被推广至多自由度系统，其中显式构建了扩展 Nambu 动力学的配分函数。
• 对于具有第一类约束的系统，Nambu 形式化自然地将约束作为守恒量纳入，并且在广义 Nambu 对易括号下动力学保持一致。
• 本文表明，Nambu 力学并非仅限于特殊系统，而是当使用冗余变量时，普遍哈密顿动力学背后的隐藏结构。