[论文解读] Hidden Quantum Markov Models and non-adaptive read-out of many-body states

Alex Monràs, Almut Beige+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 23被引用 11

一句话总结

本文提出了隐性量子马尔可夫模型（HQMMs），这是对使用随机量子操作而非冯·诺依曼投影的量子有限状态生成器的推广，从而实现了对随机过程更高效的压缩。它表明，HQMMs 可以生成经典隐性马尔可夫模型无法生成的过程语言（如交替二进制序列），并证明了一维簇态的非自适应读出等价于一个两状态的 HQMM，证明了量子模型在压缩效率上可超越经典模型。

ABSTRACT

Stochastic finite-state generators are compressed descriptions of infinite time series. Alternatively, compressed descriptions are given by quantum finite- state generators [K. Wiesner and J. P. Crutchfield, Physica D 237, 1173 (2008)]. These are based on repeated von Neumann measurements on a quantum dynamical system. Here we generalise the quantum finite-state generators by replacing the von Neumann pro jections by stochastic quantum operations. In this way we assure that any time series with a stochastic compressed description has a compressed quantum description. Moreover, we establish a link between our stochastic generators and the sequential readout of many-body states with translationally-invariant matrix product state representations. As an example, we consider the non-adaptive read-out of 1D cluster states. This is shown to be equivalent to a Hidden Quantum Model with two internal states, providing insight on the inherent complexity of the process. Finally, it is proven by example that the quantum description can have a higher degree of compression than the classical stochastic one.

研究动机与目标

• 通过用随机量子操作替代冯·诺依曼投影，推广量子有限状态生成器，使能生成更广泛的过程语言类。
• 建立 HQMMs 与具有矩阵乘积态（MPS）表示的多体量子态的非自适应读出之间的正式联系。
• 证明 HQMMs 可在某些过程语言上实现比经典随机有限状态机更高的压缩效率。
• 为具有有限访问能力的序列测量过程提供一个量子理论框架，该框架与测量基于的量子计算相关。
• 探讨量子记忆和非投影测量在减少过程生成所需内部状态数中的作用。

提出的方法

• 在量子有限状态生成器中，用一般的量子操作（完全正映射）替代投影（冯·诺依曼）测量，允许非确定性和非坍缩的状态演化。
• 将系统建模为动力学开放量子系统，其中每个测量结果触发一个量子操作，根据结果更新系统的状态。
• 使用 Kraus 算符形式表示量子操作，每个结果关联一个 Kraus 算符 $ K_y $，使得测量后状态为 $ \rho' = \sum_y K_y \rho K_y^\dagger $。
• 将过程语言定义为通过重复应用量子操作和测量所生成的古典测量结果序列。
• 通过设计适当的 Kraus 算符，为特定过程（如交替二进制序列）构建 HQMM，以重现所需的输出统计特性。
• 建立一维簇态的非自适应读出与两态 HQMM 之间的等价性，表明测量统计特性与具有特定量子操作的重复测量量子系统一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机量子操作能否推广量子有限状态生成器，使其建模的随机过程类比冯·诺依曼测量更广泛？
• RQ2 一维簇态的非自适应读出与具有广义测量的量子有限状态机之间是否存在直接对应关系？
• RQ3 HQMMs 在相同过程语言下能否实现比经典隐性马尔可夫模型更少的内部状态数？
• RQ4 量子记忆和非投影测量在实现更高效随机过程压缩中起什么作用？
• RQ5 底层量子系统的维度如何限制可生成的过程语言类？

主要发现

• HQMMs 通过允许非投影、随机的量子操作，推广了量子有限状态生成器，使能生成冯·诺依曼模型无法实现的过程语言。
• 一维簇态的非自适应读出等价于一个两状态的隐性量子马尔可夫模型，证明了 HQMM 在多体系统中可实现直接物理实现。
• 一个具有非均匀概率的特定交替二进制序列无法由两状态隐性马尔可夫模型生成，但可由使用非投影测量的两状态 HQMM 有效生成。
• 该交替序列的 HQMM 表示使用 Kraus 算符 $ K_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle\langle\uparrow| $，$ K_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle\langle\downarrow| $，$ K_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle\langle+| $，$ K_3 = \frac{1}{\sqrt{2}}|-\rangle\langle-| $，可重现正确的结果统计。
• 由式 (75) 所描述的模型无法由两状态 HMM 实现，但可通过式 (88) 的 HQMM 实现，证明了在压缩方面存在量子优势。
• 本文通过实例证明，量子描述可实现比经典随机模型更高的压缩效率，因为 HQMM 所用内部状态数少于生成相同过程的最小经典 HMM。