[论文解读] Hidden quasi-local charges and Gibbs ensemble in a Lindblad system

Marius de Leeuw, Chiara Paletta+2 more|arXiv (Cornell University)|May 3, 2023

Quantum many-body systems参考文献 34被引用 5

一句话总结

该论文通过利用可积自旋链中的隐藏准局域守恒荷，构建了Lindblad系统中的非平衡稳态（NESS）。通过转移矩阵 $ T(\gamma) $ 对虚耦合 Hubbard 模型进行形变，作者推导出具有类似吉布斯形式的精确 NESS，证明了局部算符的稳态期望值与解析预测完全一致，从而验证了守恒荷在非平衡统计力学中的作用。

ABSTRACT

We consider spin-1/2 chains with external driving that breaks the continuous symmetries of the Hamiltonian. We introduce a family of models described by the Lindblad equation with local jump operators. The models have hidden strong symmetries in the form of quasi-local charges, leading to multiple non-equilibrium steady states. We compute them exactly in the form of Matrix Product Operators, and argue that they are the analogues of quantum many body scars in the Lindbladian setting. We observe that the dynamics leads to the emergence of a Gibbs ensemble constructed from the hidden charges.

研究动机与目标

• 在具有开放边界条件的Lindblad驱动量子自旋链中构造非平衡稳态（NESS）。
• 证明 NESS 源于哈密顿量守恒荷的形变，特别是形如 $[ab]_m$ 的准局域荷。
• 通过识别有效哈密顿量和跃迁算符，利用转移矩阵 $ T(\gamma) $ 建立 NESS 与吉布斯系综之间的联系。
• 严格证明局部 $ Z $-算符的稳态期望值与吉布斯系综预测一致，从而验证有效热化图像。

提出的方法

• 通过作用于二维辅助空间的 $ A_j(\gamma) $ 矩阵定义矩阵乘积算符（MPO）转移矩阵 $ T(\gamma) $，以生成守恒荷。
• 对 $ T(\gamma) $ 进行对数展开，得到准局域生成元 $ \mathcal{G}(\gamma) = i\sum_{m\geq1} \frac{\gamma^m}{2m}[YX]_m $，该生成元用于形变Lindbladian。
• 利用转移矩阵 $ T(\gamma) $ 对跃迁算符 $ \ell(j) $ 进行共轭，从而构造出包含形变跃迁算符的完整Lindbladian。
• NEST被定义为Lindbladian的唯一不动点，其密度矩阵被证明等价于包含守恒荷的有效哈密顿量的吉布斯态。
• 通过超几何函数推导出稳态期望值 $ \langle Z_j \rangle $ 的解析表达式，并验证其与正文中的精确结果一致。
• 通过在 $ \gamma $ 展开中逐阶证明，该表达式与吉布斯系综预测等价，显示高阶项相互抵消，且在 $ \gamma^0 $、$ \gamma^2 $、$ \gamma^L $、$ \gamma^{2L} $ 处完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用底层可积哈密顿量的守恒荷，在Lindblad系统中构造非平衡稳态（NESS）？
• RQ2 转移矩阵 $ T(\gamma) $ 如何生成Lindbladian的形变，同时保持NESS结构？
• RQ3 所得到的NESS是否表现出类似吉布斯的行为，其期望值是否与由守恒荷定义的热系综预测一致？
• RQ4 准局域荷（如 $[YX]_m$）在生成NESS的有效动力学中起什么作用？
• RQ5 为何 $ \gamma $-展开中高阶项在 $ \langle Z_j \rangle $ 的最终表达式中消失？这与吉布斯形式是否一致？

主要发现

• 通过转移矩阵 $ T(\gamma) $ 显式构造了NESS，该矩阵通过共轭跃迁算符实现了Lindbladian的形变。
• 稳态期望值 $ \langle Z_j \rangle $ 被严格推导并证明与吉布斯系综预测完全一致，从而确认了有效热化。
• 表达式 $ \langle Z_j \rangle $ 仅包含特定幂次的 $ \gamma $：$ \gamma^0 $、$ \gamma^2 $、$ \gamma^L $、$ \gamma^{2L} $、$ \gamma^{L+2} $、$ \gamma^{2L+2} $，其余项因对称性及超几何函数恒等式而消失。
• 超几何函数求和中 $ f=0 $ 和 $ f=1 $ 的贡献已足以重现完整的吉布斯预测，而更高阶的 $ f $ 项因 $ {}_1F_0 $ 恒等式和二项式系数结构而消失。
• $ f=L/2 $ 项因 $ \sin(n\pi) $ 在 $ n $ 为奇数时为零，而当 $ n $ 为偶数时，超几何级数中关于 $ k $ 的求和导致总表达式为零。
• 最终 $ \langle Z_j \rangle $ 的表达式被证明与正文第 (27) 式结果等价，从而验证了构造方法和吉布斯系综图像的有效性。