[论文解读] Hiding the Drift

Miklós Rásonyi, Walter Schachermayer+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 1被引用 1

一句话总结

本文构建了一个可预测过程 $ H $，使得随机积分 $ (H \cdot S)_t $ 在其自身的滤链下成为布朗运动，尽管 $ S_t $ 是一个具有非平凡可预测漂移 $ \mu_t $ 的布朗运动。其关键贡献在于证明了漂移可被限制在任意接近某个固定值 $ \mu > 0 $ 的区间内，从而在 $ \mu $ 周围的任意小区间内‘隐藏’漂移。

ABSTRACT

In this article we consider a Brownian motion with drift of the form \[dS_t=\mu_t dt+dB_t\qquadfor t\ge0,\] with a specific nontrivial $(\mu_t)_{t\geq0}$, predictable with respect to $\mathbb{F}^B$, the natural filtration of the Brownian motion $B=(B_t)_{t\ge0}$. We construct a process $H=(H_t)_{t\ge0}$, also predictable with respect to $\mathbb{F}^B$, such that $((H\cdot S)_t)_{t\ge 0}$ is a Brownian motion in its own filtration. Furthermore, for any $\delta>0$, we refine this construction such that the drift $(\mu_t)_{t\ge0}$ only takes values in $]\mu-\delta,\mu+\delta[$, for fixed $\mu>0$.

研究动机与目标

• 证明具有非平凡可预测漂移的布朗运动可通过可预测随机积分转化为标准布朗运动。
• 确保漂移过程 $ \mu_t $ 对任意 $ \delta > 0 $ 均被限制在任意小的区间 $ ]\mu - \delta, \mu + \delta[ $ 内，从而保持漂移的近似恒定性。
• 保持漂移与积分过程 $ H $ 相对于原始布朗运动自然滤链的可预测性。
• 建立此类变换在不改变原始概率空间或滤链的前提下是可行的。

提出的方法

• 定义一个布朗运动 $ B_t $ 和一个适应于自然滤链 $ \mathbb{F}^B $ 的可预测漂移过程 $ \mu_t $。
• 构造一个可预测过程 $ H_t $，使得随机积分 $ (H \cdot S)_t $ 在其自身滤链下为布朗运动。
• 通过时间变换或类似 Girsanov 的论证，确保变换后的过程满足布朗运动的鞅性质与二次变差性质。
• 通过精心设计有界且可预测的 $ \mu_t $，确保对所有 $ t \geq 0 $ 都有 $ \mu_t \in ]\mu - \delta, \mu + \delta[ $，其中 $ \delta > 0 $ 为任意给定值。
• 验证所得过程 $ (H \cdot S)_t $ 具有独立增量与连续路径，满足其自身滤链下布朗运动的定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非退化可预测漂移的布朗运动能否通过可预测积分器转化为标准布朗运动？
• RQ2 在保持变换后过程鞅性质的前提下，漂移最多能在多大程度上被局部化于固定正值 $ \mu $ 附近？
• RQ3 是否能够保持漂移与积分器 $ H $ 相对于原始布朗运动自然滤链的可预测性？
• RQ4 变换后的过程 $ (H \cdot S)_t $ 是否在其自身滤链下满足标准布朗运动的有限维分布？

主要发现

• 尽管 $ S_t $ 具有非平凡漂移，随机积分 $ (H \cdot S)_t $ 在其自身自然滤链下仍为标准布朗运动。
• 漂移过程 $ \mu_t $ 可被构造为仅取值于区间 $ ]\mu - \delta, \mu + \delta[ $ 内，其中 $ \delta > 0 $ 为任意给定值，且 $ \mu > 0 $ 固定。
• 积分过程 $ H $ 相对于自然滤链 $ \mathbb{F}^B $ 是可预测的，确保构造过程与原始信息流一致。
• 该变换保持了原始过程的样本路径连续性与独立增量性质，确保输出为真正的布朗运动。