[论文解读] Hierarchical adaptive polynomial chaos expansions

Chu V., Bruno Sudret|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 29被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种分层自适应多项式混沌展开（PCE）方法，通过迭代地利用继承原理丰富多项式基，以在高维不确定性量化中提升稀疏性和准确性。通过自适应选择基函数——优先考虑低阶项及其相互作用——该方法在保持相同实验设计规模的前提下，显著降低了计算成本，同时实现了比标准稀疏PCE方法更高的精度。

ABSTRACT

Polynomial chaos expansions (PCE) are widely used in the framework of uncertainty quantification. However, when dealing with high dimensional complex problems, challenging issues need to be faced. For instance, high-order polynomials may be required, which leads to a large polynomial basis whereas usually only a few of the basis functions are in fact significant. Taking into account the sparse structure of the model, advanced techniques such as sparse PCE (SPCE), have been recently proposed to alleviate the computational issue. In this paper, we propose a novel approach to SPCE, which allows one to exploit the model's hierarchical structure. The proposed approach is based on the adaptive enrichment of the polynomial basis using the so-called principle of heredity. As a result, one can reduce the computational burden related to a large pre-defined candidate set while obtaining higher accuracy with the same computational budget.

研究动机与目标

• 解决高维多项式混沌展开在不确定性量化中的计算负担问题。
• 提升复杂高维模型中稀疏多项式混沌展开（SPCE）的精度与稀疏性。
• 开发一种基于继承原理的自适应基函数丰富策略，以优先选择相关多项式项。
• 减少对大规模预定义候选集的依赖，同时保持或提升模型精度。
• 在具有不同程度非线性和相互作用效应的基准问题上，验证该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法结合最小角回归（LAR）与继承原理，在PCE构建过程中迭代丰富多项式基。
• 继承原理确保：若选择了高阶交互项，则其所有低阶父项（如主效应）也必须包含在基中。
• 候选基并非预先固定，而是通过从低阶多项式开始的连续迭代逐步自适应构建。
• 该方法采用分层截断方案，尊重多项式项的包含结构。
• 以低秩超椭圆截断为起点，随后根据回归系数和与输出的相关性，逐步添加项以优化基。
• 该方法通过在每一步仅添加最相关的项来动态更新基集，避免对所有可能多项式进行穷举枚举。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于继承原理的自适应基函数丰富策略，是否能在高维问题中优于使用固定候选集的标准稀疏PCE？
• RQ2 与传统的基于LAR的SPCE相比，分层自适应PCE方法在精度和计算效率方面表现如何？
• RQ3 继承原理在不增加计算成本或导致过拟合的前提下，能在多大程度上有效捕捉关键的交互效应？
• RQ4 该方法是否能在更小的实验设计规模下，实现优于标准方法的精度？
• RQ5 该方法在具有强非线性和高阶相互作用的问题上表现如何？

主要发现

• 在200个实验设计点下，h-LAR在Sobol’函数上的验证误差为1.6×10⁻²，显著优于相同规模下的标准LAR（5.95×10⁻²）。
• 在Schwefel函数上，h-LAR在1,000个样本下的相对验证误差为1.03×10⁻²，而标准LAR为2.2×10⁻²，表明其精度更高。
• 在设计规模为200时，h-LAR保留了154个基函数，而标准LAR仅保留37个，表明其基选择更全面，模型保真度更高。
• 该方法通过避免使用大规模预定义候选集，在相同计算预算下实现了更高精度。
• 分层结构有助于更准确地检测交互效应，尤其在高阶和非线性模型中表现更优。
• 结果表明，基于继承原理的自适应丰富策略可生成更精确的PCE模型，同时减少对启发式截断方案的依赖。