[论文解读] Hierarchical Clusterings of Unweighted Graphs

Svein Høgemo, Christophe Paul+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2020

Complex Network Analysis Techniques被引用 2

一句话总结

本文提出一种归一化过程，以在未加权图上优化层次聚类的Dasgupta目标函数。证明了在稠密未加权图中该问题为NP完全问题，并识别出一类称为最小良好行为图（min-well-behaved graphs）的图类——如6-环图和共二分图——在此类图中，k个副本的最优聚类可简化为单个副本的聚类，从而通过因子分解树实现高效计算。

ABSTRACT

International audience

研究动机与目标

• 确定在未加权相似性图上，寻找满足Dasgupta目标函数的最优层次聚类的计算复杂性。
• 识别出一类图结构，使得k个不相交副本的最优聚类可由单个副本的最优聚类导出。
• 开发一种归一化过程，将任意层次聚类转换为特定图类下的最优聚类。
• 证明六阶环图（C6）是最小良好行为图，从而将可高效聚类的图类扩展至共二分图之外。

提出的方法

• 引入两阶段归一化过程：自顶向下遍历以应用剪枝优化（Cut Optimization），自底向上遍历以应用左重分配（Left-Heavy Distribution）与平衡化（Balancing）。
• 利用归一化过程迭代改进任意层次聚类，直至达到无法进一步降低代价的最优聚类。
• 将最小良好行为图定义为：其k个不相交副本H(k)的最优聚类可由单个副本H的最优聚类导出。
• 通过系数矩阵分析归一化过程中子棱柱（sub-prisms）的DC-cost变化，验证该过程不会增加代价。
• 将该过程应用于棱柱图P，并证明其k重副本P(k)具有因子分解形式的最优聚类，DC-cost为48k²。
• 采用带符号系数的净收益分析，验证在自底向上遍历过程中，任何子棱柱配置均不会降低整体DC-cost。

实验结果

研究问题

• RQ1 在未加权图上，寻找满足Dasgupta目标函数的最优层次聚类问题是否为NP完全问题？
• RQ2 哪些图类允许k个不相交副本的最优聚类可由单个副本的最优聚类导出？
• RQ3 六阶环图（C6）是否为最小良好行为图，即其k个副本的最优聚类是否可通过独立聚类每个副本获得？
• RQ4 归一化过程是否能保证在所有步骤中保持或改善DC-cost，从而确保收敛至最优解？
• RQ5 图的何种结构特性可确保其k重不相交并集的最优聚类在各副本间保持因子分解形式？

主要发现

• 在未加权图上，寻找满足Dasgupta目标函数的最优层次聚类问题是NP完全的，即使在稠密图中（每个顶点度数至少为n−6）亦然。
• 六阶环图（C6）是最小良好行为图，即对任意k，k个不相交C6副本的最优层次聚类可通过独立聚类每个副本实现。
• 归一化过程是安全的：自顶向下与自底向上遍历均保持或改善DC-cost，确保收敛至有效最优聚类。
• 棱柱图P是最大良好行为图（max-well-behaved），其k重不相交并集P(k)具有DC-cost为48k²的最优层次聚类，且可通过副本间因子分解实现。
• 归一化过程的安全性通过基于系数的净收益分析得到证明，表明在自底向上处理过程中，任何子棱柱配置均无法降低总DC-cost。
• 本文识别出共二分图与C6为最小良好行为图，表明此类结构特性虽稀少，但足以实现多副本的高效聚类。