[论文解读] Hierarchical Schur complement preconditioner for the stochastic Galerkin finite element methods Dedicated to Professor Ivo Marek on the occasion of his 80th birthday.

Bedřich Sousedík, Roger Ghanem+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 37被引用 21

一句话总结

该论文为随机伽辽金有限元方法提出了一种分层Schur补预条件子，通过利用全局矩阵的递归2×2块结构来加速Krylov子空间迭代。通过在均值问题块上使用内层Krylov循环近似逆运算作用，并避免显式矩阵组装，该方法在椭圆问题上实现了具有有界条件数的鲁棒收敛，数值验证有效。

ABSTRACT

SUMMARY Use of the stochastic Galerkin finite element methods leads to large systems of linear equations obtained by the discretization of tensor product solution spaces along their spatial and stochastic dimensions. These systems are typically solved iteratively by a Krylov subspace method. We propose a preconditioner which takes an advantage of the recursive hierarchy in the structure of the global matrices. In particular, the matrices posses a recursive hierarchical two-by-two structure, with one of the submatrices block diagonal. Each one of the diagonal blocks in this submatrix is closely related to the deterministic mean-value problem, and the action of its inverse is in the implementation approximated by inner loops of Krylov iterations. Thus our hierarchical Schur complement preconditioner combines, on each level in the approximation of the hierarchical structure of the global matrix, the idea of Schur complement with loops for a number of mutually independent inner Krylov iterations, and several matrix-vector multiplications for the off-diagonal blocks. Neither the global matrix, nor the matrix of the preconditioner need to be formed explicitly. The ingredients include only the number of stiffness matrices from the truncated Karhunen-Lo` eve expansion and a good preconditioned for the mean-value deterministic problem. We provide a condition number bound for a model elliptic problem and the performance of the method is illustrated by numerical experiments. Submitted as preprint to ArXiv.

研究动机与目标

• 解决由具有随机系数的椭圆PDE的随机伽辽金离散化产生的大规模、结构化线性系统求解挑战。
• 克服在空间和随机维数上张量积离散化空间中迭代求解器的高计算成本。
• 开发一种利用全局矩阵递归分层结构的预条件子，无需显式矩阵组装。
• 通过在均值问题块上近似逆运算作用的内层Krylov迭代，确保可扩展性和效率。
• 提供理论条件数界，并通过数值实验展示鲁棒性能。

提出的方法

• 利用全局矩阵的递归2×2块结构，其中一子矩阵为块对角矩阵，其块对应于确定性均值问题。
• 在分层矩阵结构的每一层递归应用Schur补技术，以解耦并预条件系统。
• 使用内层Krylov子空间迭代近似对角块的逆，复用均值问题的预条件子。
• 仅对非对角块执行矩阵-向量乘法，避免完整矩阵组装。
• 以截断Karhunen-Loève展开的刚度矩阵作为输入，不显式构造全局矩阵或预条件子。
• 将外层Krylov迭代与多个独立的内层Krylov循环结合，以高效近似预条件作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用随机伽辽金矩阵的分层块结构设计一种高效、无矩阵的预条件子？
• RQ2 对于典型椭圆问题，预条件系统理论上的条件数界是什么？
• RQ3 在不显式组装矩阵的情况下，对均值问题块进行内层Krylov迭代能否有效近似逆运算作用？
• RQ4 与标准预条件方法相比，该方法在收敛行为和计算成本方面表现如何？
• RQ5 该方法在随机维数增加和网格细化时的可扩展性如何？

主要发现

• 分层Schur补预条件子在典型椭圆问题上实现了与随机维数无关的条件数有界性。
• 该方法避免了全局矩阵和预条件子的显式构造，仅依赖于刚度矩阵和均值问题的预条件子。
• 数值实验确认了在各种随机离散化水平和网格细化下的鲁棒收敛行为。
• 在均值问题块上使用内层Krylov迭代，有效且高效地近似了逆运算作用。
• 由于其递归的、无矩阵的结构，该预条件子在高维随机问题中仍保持高效。
• 该方法展现出良好的可扩展性和稳定性，收敛率在随机维数增加时基本不受影响。