[论文解读] Hierarchical stratification of Pareto sets

Alberto Lovison, Filippo Pecci|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2014

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms参考文献 34被引用 10

一句话总结

本文提出了一套几何框架，用于理解多目标优化中Pareto集的分层结构，表明在光滑、非凸问题中，局部Pareto最优解的集合构成一个Whitney分层集，其由维度为0至m−1的流形组成，其中m为目标数。主要贡献在于证明：对于光滑函数的一个残差（典型）类，Pareto集在本质上是分层集，从而能够系统地将其分解为子问题，并通过代数条件和Lojasiewicz型不等式指导优化策略。

ABSTRACT

In smooth and convex multiobjective optimization problems the set of Pareto optima is diffeomorphic to an $m-1$ dimensional simplex, where $m$ is the number of objective functions. The vertices of the simplex are the optima of the individual functions and the $(k-1)$-dimensional facets are the Pareto optimal set of $k$ functions subproblems. Such a hierarchy of submanifolds is a geometrical object called stratification and the union of such manifolds, in this case the set of Pareto optima, is called a stratified set. We discuss how these geometrical structures generalize in the non convex cases, we survey the known results and deduce possible suggestions for the design of dedicated optimization strategies.

研究动机与目标

• 理解非凸、光滑多目标优化问题中Pareto集的几何组织结构。
• 建立局部Pareto最优解集合在本质上为Whitney分层集的理论，即使在非凸设置下亦成立。
• 为基于分层结构将多目标问题分解为低维子问题提供理论基础。
• 将Pareto集的结构与实际优化策略及生物学建模（如达尔文进化）联系起来。
• 通过多项式不等式和Lojasiewicz指数重新表述Kuo的v-充分性条件，以提升计算可处理性。

提出的方法

• 本文运用微分拓扑与奇点理论，特别是Mather的分层集与Whitney分层理论，分析Pareto集的结构。
• 应用Thom的横截性定理，表明对于光滑函数的一个残差集，Pareto集在喷丛空间中是Whitney分层集。
• 作者分析喷丛空间 $ j^q f $ 及其在映射 $ f $ 下的拉回，证明Pareto集是子mersion下分层集的原像。
• 通过依赖于函数值及其共轭导数的两个多项式函数 $ \mathcal{R}_p $ 和 $ \mathcal{T}_p $，重新表述v-充分性的Kuo条件。
• 该方法依赖于通过多项式在根附近的增长速率表征v-充分性，其与局部Lojasiewicz指数相关联。
• 通过凸与非凸情形的实例验证该框架，并将其应用于生物进化作为案例研究。

实验结果

研究问题

• RQ1 在光滑、非凸多目标优化问题中，Pareto集如何组织结构？
• RQ2 在何种条件下，局部Pareto最优解集合为Whitney分层集？
• RQ3 Pareto集的分层分解能否用于设计更有效的优化策略？
• RQ4 Lojasiewicz指数在表征v-充分性与Pareto最优性中起何作用？
• RQ5 Pareto集的几何结构如何为逆问题（如进化生物学）中潜在目标函数的发现提供启示？

主要发现

• 对于满足 $ \mu > \min(n,m)+2 $ 的 $ C^\mu $-光滑函数的残差集，Pareto集为Whitney分层集，即其本质上由维度为 $ m-1 $、$ m-2 $、…、0 的流形构成。
• 局部Pareto最优解集合 $ \theta_{\text{op}} $ 是一个分层集，其分层对应于 $ k $-目标子问题的Pareto最优集，其中 $ k = 1, \dots, m $。
• 该分层结构在目标函数的小扰动下保持稳定，意味着非分层的Pareto集是非典型且不稳定的。
• v-充分性的Kuo条件可通过依赖于函数及其共轭导数的多项式不等式 $ \mathcal{R}_p $ 和 $ \mathcal{T}_p $ 重新表述，从而实现代数验证。
• 多项式在根附近的局部Lojasiewicz指数决定了其增长速率，是验证Kuo条件的关键，将分析与几何结构联系起来。
• 该框架为将复杂多目标问题分解为更简单子问题提供了理论基础，从而增强数值求解策略的有效性，并提升在进化生物学等应用中的可解释性。