[论文解读] Hierarchically deflated conjugate gradient

P A Boyle|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 20被引用 16

一句话总结

本文提出了一种分层降弛共轭梯度（HDCG）算法，用于在格点QCD中求解五维手征费米子体系，如域墙费米子和莫比乌斯费米子。通过采用四维粗网格的多级降弛和红外位移预条件器，该方法降低了stencil复杂度和通信开销，在BlueGene/Q硬件上实现了粗网格运算高达10倍的加速，并保持了收敛效率。

ABSTRACT

We present a multi-level algorithm for the solution of five dimensional chiral fermion formulations, including domain wall and Mobius Fermions. The algorithm operates on the red-black preconditioned Hermitian operator, and directly accelerates conjugate gradients on the normal equations. The coarse grid representation of this matrix is next-to-next-to-next-to-nearest neighbour and multiple algorithmic advances are introduced, which help minimise the overhead of the coarse grid. The treatment of the coarse grids is purely four dimensional, and the bulk of the coarse grid operations are nearest neighbour. The intrinsic cost of most of the coarse grid operations is therefore comparable to those for the Wilson case. We also document the implementation of this algorithm in the BAGEL/Bfm software package and report on the measured performance gains the algorithm brings to simulations at the physical point on IBM BlueGene/Q hardware.

研究动机与目标

• 解决由于近零模导致的高条件数所引发的共轭梯度求解器在五维手征费米子表述中收敛缓慢的问题。
• 开发一种可扩展的多级降弛方法，以降低5D狄拉克算符中粗网格运算的计算成本。
• 通过使用仅含最近邻stencil的四维粗网格表示，最小化分层多重网格求解器中的算法开销。
• 通过低精度数据表示减少通信带宽，从而提升在BlueGene/Q上的性能，同时不牺牲收敛性。

提出的方法

• 对五维狄拉克算符的厄米形式应用红黑预条件器，并使用共轭梯度法求解正规方程。
• 引入一种分层降弛框架，利用1⁴三级粗网格空间来表示系统的低能模。
• 基于截断的最近邻近似方法构建红外位移预条件器，以降低stencil复杂度。
• 采用ADEF-2算法，相比标准舒尔补方法，将粗网格求解的开销降低一个数量级。
• 在节点间数据交换中应用低精度通信（例如16位尾数），在不损失收敛性的情况下将带宽减少多达四倍。
• 通过在多个矩阵-向量运算中重用规范场和费米子场，保持缓存友好的内存访问模式。

实验结果

研究问题

• RQ1 多级降弛能否在域墙费米子等五维手征费米子表述中有效应用，而不会带来不可接受的粗网格成本？
• RQ2 如何降低粗网格算符的stencil复杂度，使其与标准威尔逊费米子的复杂度相当，同时保持精度？
• RQ3 通过低精度数据表示，通信带宽最多可减少多少，而不会降低Krylov求解器的收敛性？
• RQ4 基于最近邻截断的红外位移预条件器是否能提升5D求解器的性能和稳定性？
• RQ5 该分层降弛框架是否能在BlueGene/Q上的大规模格点QCD模拟中保持鲁棒性和高效性？

主要发现

• HDCG算法通过采用ADEF-2算法替代标准舒尔补方法，将小狄拉克算符的开销降低了10倍。
• 红外位移预条件器将粗网格矩阵乘法的大部分简化为最近邻stencil，其复杂度与威尔逊费米子求解器相当。
• 低精度通信（7位尾数）在不损失收敛性的情况下实现了四倍带宽减少，同时保持了168次外层迭代。
• 粗网格运算完全为四维，支持规范场和费米子场的高效重用，提升了缓存局部性。
• 该算法在IBM BlueGene/Q上实现了显著的性能提升，通信减少的收益超过了域分解带来的增益，因为互连带宽的扩展速度更慢。
• 预条件共轭梯度求解器对预条件器的变异性保持鲁棒，从而减少了对灵活Krylov方法的需求。