[论文解读] Hierarchies in Dependence Logic

Arnaud Durand, Juha Kontinen|arXiv (Cornell University)|May 17, 2011

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 8被引用 9

一句话总结

本文建立了依赖逻辑（D）的片段与相应存在性二阶逻辑（ESO）片段之间的精确联系，表明限制全称量词的数量（D(k−∀)）或限制依赖原子的宽度（D(k−dep)）会在表达能力上产生严格层次结构。关键贡献在于证明 D(k−dep) 恰好对应于 arity 至多为 k 的函数的 ESO，且这两个片段均随 k 呈现严格层次结构，与 NTIMERAM(nk) 等复杂度类相关联。

ABSTRACT

We study fragments of dependence logic defined either by restricting the number k of universal quantifiers or the width of dependence atoms in formulas. We find the sublogics of existential second-order logic corresponding to these fragments of dependence logic. We also show that these both ways of defining fragments of dependence logic give rise to a hierarchy in expressive power with respect to k.

研究动机与目标

• 通过限制句法参数，刻画依赖逻辑片段的表达能力。
• 在依赖逻辑片段与存在性二阶逻辑（ESO）的子类之间建立精确对应关系。
• 研究这些句法限制是否在有限结构上产生表达能力的严格层次结构。
• 将依赖逻辑片段的层次结构与已知复杂度类及描述复杂度中的开放问题联系起来。

提出的方法

• 本文定义了两个片段：D(k−∀)，限制全称量词的数量；D(k−dep)，限制依赖原子的宽度。
• 证明 D(k−dep) 与允许对 arity 至多为 k 的函数进行量化的 ESO 片段 ESOf(k-ary) 逻辑等价。
• 表明 D(k−∀) 对应于 ESO 片段 ESO1f(k∀,∃∗)，即以斯科伦范式表示且全称一阶量词至多为 k 的 ESO 句子。
• 本文利用已知的复杂度结果，如时间层次定理和库克层次定理，建立层次结构的严格性。
• 应用谱 arity 层次结构猜想和阿吉蒂的关于 k+1 元关系偶数基数不可定义性的结果，证明 D(k−dep) 构成严格层次结构。
• 通过逻辑归约和包含关系证明严格层次结构，表明在特定条件下有 D(k−∀) < D(2k+2−∀) 和 D(k−dep) < D(k+1−dep)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在依赖逻辑中限制全称量词的数量是否会产生表达能力的严格层次结构？
• RQ2 是否对所有签名和所有 k，由限制依赖原子宽度定义的片段 D(k−dep) 严格包含于 D(k+1−dep) 中？
• RQ3 能否对所有 k 和所有签名证明 D(k−∀) 的层次结构是严格的？
• RQ4 依赖逻辑中的句法限制如何与 NTIMERAM(nk) 等复杂度类相关联？
• RQ5 D(k−dep) 的层次结构对所有签名都是严格的，还是仅在特定条件下成立？

主要发现

• D(k−dep) 与允许对 arity 至多为 k 的函数进行量化的 ESO 片段 ESOf(k-ary) 逻辑等价。
• 片段 D(k−∀) 恰好对应于 ESO1f(k∀,∃∗)，即在斯科伦范式中全称量词至多为 k 的 ESO 子类。
• D(k−∀) 存在严格层次结构，如对所有 k ≥ 1 和所有签名，有 D(k−∀) < D(2k+2−∀)。
• 当签名包含一个 k+1 元关系时，D(k−dep) 的严格层次结构成立，因为 D(k−dep)[τk+1] < D(k+1−dep)[τk+1]，这是由于较小片段无法定义偶数基数。
• 结果 D(k−dep)[τk+1] < D(k+1−dep)[τk+1] 是通过阿吉蒂关于 ESOf(k-ary) 中偶数基数不可定义性的定理建立的。
• 本文提供了证据表明，一般情况下证明 D(k−dep) 的严格层次结构仍为开放问题，因为这将意味着谱 arity 层次结构猜想成立。