[论文解读] Hierarchy-Based Algorithms for Minimizing Makespan under Precedence and Communication Constraints

Janardhan Kulkarni, Shi Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2020

Scheduling and Optimization Algorithms被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种针对在相同机器上具有优先约束和通信约束的调度问题的$(1+\epsilon)$-近似算法，采用基于分层的Sherali-Adams提升方法。该算法实现了近乎准多项式时间复杂度，并可扩展至非迁移和通信延迟场景，解决了非抢占情况下任意作业长度的长期开放问题。

ABSTRACT

We consider the classic problem of scheduling jobs with precedence constraints on a set of identical machines to minimize the makespan objective function. Understanding the exact approximability of the problem when the number of machines is a constant is a well-known question in scheduling theory. Indeed, an outstanding open problem from the classic book of Garey and Johnson asks whether this problem is NP-hard even in the case of 3 machines and unit-length jobs. In a recent breakthrough, Levey and Rothvoss gave a $(1+ε)$-approximation algorithm, which runs in nearly quasi-polynomial time, for the case when job have unit lengths. However, a substantially more difficult case where jobs have arbitrary processing lengths has remained open. We make progress on this more general problem. We show that there exists a $(1+ε)$-approximation algorithm (with similar running time as that of Levey and Rothvoss) for the non-migratory setting: when every job has to be scheduled entirely on a single machine, but within a machine the job need not be scheduled during consecutive time steps. Further, we also show that our algorithmic framework generalizes to another classic scenario where, along with the precedence constraints, the jobs also have communication delay constraints. Both of these fundamental problems are highly relevant to the practice of datacenter scheduling.

研究动机与目标

• 解决在常数台相同机器上具有优先约束的任意处理长度作业调度问题的近似可解性差距。
• 将针对单位长度作业的$(1+\epsilon)$-近似框架扩展至非迁移设置下的任意长度作业。
• 将算法框架推广以包含通信延迟约束，这对数据中心工作负载至关重要。
• 探究如Sherali-Adams等LP分层方法是否能为任意作业长度这一更困难情形提供常数因子近似解。
• 通过建模优先约束和通信延迟等实际约束，为实际数据中心调度提供理论基础。

提出的方法

• 利用Sherali-Adams分层将调度问题的基本LP松弛提升至$(\log n)^{O_{m,\epsilon}(\log \log n)}$层，从而实现$(1+\epsilon)$-近似。
• 在时间展开图上设计一种分数解，通过在时间槽中复制作业来建模机器上非连续调度。
• 基于处理长度对作业进行分层分解，以分组和分析时间区间内的调度可行性。
• 应用一种概率舍入方案，通过确保正确排序和延迟处理来尊重优先约束和通信约束。
• 引入覆盖论证和对区间子集的双重计数，以界定整数规划间隙并证明近似保证。
• 为$1|r_j,d_j|\sum p_j U'_j$问题构建一个间隙实例，以展示低层Sherali-Adams提升的局限性，随后将其约化为$P2|\text{prec}|C_{\max}$问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 LP分层方法（如Sherali-Adams）能否在优先约束下对具有任意作业长度的完成时间最小化问题实现$(1+\epsilon)$-近似？
• RQ2 非迁移约束（作业在单台机器上调度但不一定连续）是否允许比完全抢占或非抢占设置更好的近似？
• RQ3 该框架能否扩展以包含数据中心工作负载中依赖作业之间的通信延迟？
• RQ4 在低层Sherali-Adams提升下，$P2|\text{prec}|C_{\max}$问题是否存在实现小整数规划间隙的根本障碍？
• RQ5 间隙实例中作业窗口的层叠结构是否阻止了高效动态规划解法的使用，若如此，这是否限制了该分层方法的能力？

主要发现

• 该论文为$Pm|\text{prec}, \text{non-migratory}|C_{\max}$问题提出了一个$(1+\epsilon)$-近似算法，支持任意作业长度，运行时间接近准多项式时间。
• 该算法通过使用Sherali-Adams分层将自然LP松弛提升至$O_{m,\epsilon}(\log n)^{O(\log \log n)}$层来实现该目标。
• 该框架可推广以包含通信延迟约束，使其适用于真实世界的数据中心调度工作负载。
• 作者为$1|r_j,d_j|\sum p_j U'_j$问题构建了一个对$o(\log n)$层Sherali-Adams提升具有抗性的间隙实例，表明该分层方法在该类问题上存在固有局限性。
• 从背包型问题到$P2|\text{prec}|C_{\max}$问题的约化表明，LP在低层时整数规划间隙较大，尽管该调度问题的确切入口间隙仍为开放问题。
• 该工作通过证明非迁移调度下任意作业长度的$(1+\epsilon)$-近似是可行的，解决了长期悬而未决的开放问题，将先前仅限于单位长度作业的研究成果进行了扩展。