[论文解读] Hierarchy of topological order from finite-depth unitaries, measurement and feedforward

Nathanan Tantivasadakarn, Ashvin Vishwanath+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2022

Sensor Technology and Measurement Systems被引用 7

一句话总结

本文基于使用有限深度幺正变换、测量和经典反馈准备长程纠缠态所需的测量次数，建立了一个拓扑序的层级结构。研究证明，幂零类为二的非交换量子双生代数（如 $D_4$、$Q_8$）可在一个测量次数内准备；可解群的量子双生代数可通过有限次测量利用克拉默-瓦纳尔对偶性实现；并表明非可解拓扑序（如费马契 anyons）无法通过任何有限次测量实现——揭示了拓扑相中一种新的复杂性结构。

ABSTRACT

Long-range entanglement--the backbone of topologically ordered states--cannot be created in finite time using local unitary circuits, or equivalently, adiabatic state preparation. Recently it has come to light that single-site measurements provide a loophole, allowing for finite-time state preparation in certain cases. Here we show how this observation imposes a complexity hierarchy on long-range entangled states based on the minimal number of measurement layers required to create the state, which we call "shots". First, similar to Abelian stabilizer states, we construct single-shot protocols for creating any non-Abelian quantum double of a group with nilpotency class two (such as $D_4$ or $Q_8$). We show that after the measurement, the wavefunction always collapses into the desired non-Abelian topological order, conditional on recording the measurement outcome. Moreover, the clean quantum double ground state can be deterministically prepared via feedforward--gates which depend on the measurement outcomes. Second, we provide the first constructive proof that a finite number of shots can implement the Kramers-Wannier duality transformation (i.e., the gauging map) for any solvable symmetry group. As a special case, this gives an explicit protocol to prepare twisted quantum double for all solvable groups. Third, we argue that certain topological orders, such as non-solvable quantum doubles or Fibonacci anyons, define non-trivial phases of matter under the equivalence class of finite-depth unitaries and measurement, which cannot be prepared by any finite number of shots. Moreover, we explore the consequences of allowing gates to have exponentially small tails, which enables, for example, the preparation of any Abelian anyon theory, including chiral ones. This hierarchy paints a new picture of the landscape of long-range entangled states, with practical implications for quantum simulators.

研究动机与目标

• 通过确定准备长程纠缠拓扑序所需的最少测量次数，对长程纠缠拓扑序进行分类。
• 探索测量和反馈作为资源，在超越绝热过程或幺正线路之外准备拓扑序态的作用。
• 确定哪些拓扑序可通过有限次测量实现，哪些需要无穷或非局域资源。
• 在有限深度幺正变换和测量下建立新的相等价类，区分可有限次测量准备与不可有限次测量准备的相。

提出的方法

• 构建单次测量协议，利用单点测量和有限深度幺正变换，准备幂零类为二的群的非阿贝尔量子双生代数。
• 引入基于测量的可解群 Kramers-Wannier 对偶映射（规范对偶映射）实现，使用两次或更多次测量及反馈。
• 利用广义簇态和因子系统，将 Kramers-Wannier 变换表示为基于测量结果的条件幺正操作。
• 应用依赖于经典测量结果的反馈门，以确定性方式准备目标拓扑序的纯净基态。
• 分析具有指数衰减尾部的准局域幺正变换的作用，将可准备性扩展至阿贝尔 anyon 理论，包括手征性理论。
• 基于非局域缺陷创建的不可行性论证，表明费马契 anyons 和非可解量子双生代数无法通过任何有限次测量实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用测量和有限深度幺正变换在单次测量内准备幂零类为二的非阿贝尔拓扑序？
• RQ2 在给定框架下，实现可解对称群的 Kramers-Wannier 对偶映射所需的最少测量次数是多少？
• RQ3 是否存在在该框架下无法通过任何有限次测量实现的拓扑序？
• RQ4 测量准备所需次数能否对测量等价类的拓扑相进行层级化结构划分？
• RQ5 包含具有指数衰减尾部的准局域幺正变换如何影响可准备 anyon 理论的集合？

主要发现

• 通过测量装饰域墙拓扑序保护态，实现了幂零类为二的群（如 $D_4$、$Q_8$）的量子双生代数的单次测量准备，借助反馈实现确定性准备。
• 基于 Kramers-Wannier 对偶映射，构建了任意可解群的有限次测量规范对称化协议，测量次数上界为群的导出长度。
• 费马契 anyon 理论无法通过任何有限次测量实现，因其需要创建非局域缺陷，而有限深度电路和测量无法解决此类缺陷。
• 非可解量子双生代数（如 $A_5$ 的）在测量等价类下被证明属于非平凡相，意味着其无法通过有限次测量准备。
• 引入具有指数衰减尾部的准局域幺正变换，可实现所有阿贝尔 anyon 理论（包括手征性理论）的准备，表明可准备性的边界更广。
• 构建了 3+1D 中具有阿贝尔 0-形式对称性的 2-群 gauge 理论的单次测量准备协议，推广了幂零类二量子双生代数的构造。