[论文解读] Higgs bundles, Lagrangians and mirror symmetry

Lucas C. Branco|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 11

一句话总结

本论文通过非约化谱曲线研究Higgs丛与镜像对称，聚焦于实形式SU*(2m)、SO*(4m)和Sp(m,m)。它利用纤维丛上的广义线丛及其约化概形，提出了Hitchin纤维的对偶描述，并为Langlands对偶模空间中BBB-膜提出了镜像对偶，通过辛几何与谱数据推动了几何Langlands纲领的发展。

ABSTRACT

This thesis is dedicated to the study of certain loci of the Higgs bundle moduli space on a compact Riemann surface. Motivated by mirror symmetry, we give a detailed description of the fibres of the $G$-Hitchin fibration containing $G_0$-Higgs bundles for the real forms $G_0 = SU^*(2m)$, $SO^*(4m)$ and $Sp(m,m)$ of $G = SL(2m,\mathbb{C})$, $SO(4m,\mathbb{C})$ and $Sp(4m,\mathbb{C})$, respectively. The spectral curves associated to these fibres are examples of ribbons and our description is done in two different ways, one in term of objects on the reduced scheme associated to the spectral curve, while the other in terms of the (non-reduced) spectral curve. A link is provided between the two approaches. We use this description to give a proposal for the support of the dual BBB-brane inside the moduli space of Higgs bundles for the Langlands dual group of $G$, corroborating the conjectural picture. In the second part of the thesis we discuss Gaiotto Lagrangian subvarieties inside the moduli spaces of $G$-Higgs bundles, where $G$ is a complex reductive group. These Lagrangians are obtained from a symplectic representation of $G$ and we discuss some of its general properties. We then focus our attention to the Gaiotto Lagrangian for the standard representation of the symplectic group. This is an irreducible component of the nilpotent cone for the symplectic Hitchin fibration. We describe this component by using the usual Morse function on the Higgs bundle moduli space restricted to the Lagrangian in question. Lastly, we discuss natural questions and applications of the ideas developed in this thesis. In particular, we say a few words about the hyperholomorphic bundle, how to generalize the Gaiotto Lagrangian to vector bundles which admit many sections and give an analogue of the Gaiotto Lagrangian for the orthogonal group.

研究动机与目标

• 通过非约化谱曲线，理解半单群实形式（特别是SU*(2m)、SO*(4m)和Sp(m,m)）的Hitchin纤维结构。
• 利用纤维丛上的广义线丛及其约化概形，为这些纤维提供对偶描述。
• 为Langlands对偶群Higgs丛模空间中的BBB-膜提出镜像对偶。
• 研究辛Higgs丛模空间中的Gaiotto拉格朗日子簇，特别是辛群的情形。
• 将Gaiotto构造推广至具有多个截面的向量丛及正交群。

提出的方法

• 利用Hitchin纤维化与BNR对应关系，将Higgs丛与谱曲线上的广义线丛联系起来。
• 应用纤维丛（非约化曲线）理论，描述实形式的谱数据，特别关注SU*(2m)。
• 通过广义线丛到约化曲线的范数映射，分析稳定性和纤维结构。
• 在辛情形下，利用Higgs场范数平方的Morse理论，描述Gaiotto拉格朗日子簇。
• 从G的辛表示构造Gaiotto拉格朗日子簇，特别关注辛群的标准表示。
• 应用Simpson紧化雅可比簇与广义雅可比簇理论，描述幂零锥的分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过非约化谱曲线描述实形式SU*(2m)、SO*(4m)和Sp(m,m)的Hitchin纤维？
• RQ2 在Higgs丛的背景下，纤维丛上的广义线丛描述与约化谱曲线之间的关系是什么？
• RQ3 Gaiotto拉格朗日子簇如何作为辛Hitchin纤维化中幂零锥的不可约分量出现？
• RQ4 Langlands对偶群Higgs丛模空间中BBB-膜的镜像对偶是什么？
• RQ5 如何将Gaiotto构造推广至具有多个截面的向量丛及正交群？

主要发现

• SU*(2m)的Hitchin纤维被描述为纤维丛上广义线丛的模空间，非约化与约化谱曲线描述之间建立了精确联系。
• 对于SU*(2m)，纤维被证明同构于谱曲线的紧化雅可比簇，范数映射在对偶图景中起核心作用。
• 辛群的Gaiotto拉格朗日子簇作为幂零锥中Higgs场具有最大秩的不可约分量出现，其结构通过模空间上的Morse函数刻画。
• 该构造基于谱数据与实形式对偶性，为Langlands对偶模空间中对偶BBB-膜的支持提供了具体提案。
• 标准表示Sp(2m,C)的Gaiotto拉格朗日子簇被证明是幂零锥的不可约分量，其结构通过Higgs场范数平方分析。
• 本文将Gaiotto拉格朗日子簇推广至具有多个截面的向量丛，并为正交群提出类比，将框架从辛情形扩展至更一般情况。