[论文解读] High Dimensional Combinatorial Random Walks and Colorful Expansion.

Tali Kaufman, David Mass|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种在单纯复形上的高维组合随机游走，该游走于共享同一(i+1)维面的i维面之间转移。研究证明，复形中链接的谱膨胀性可推出彩色膨胀性，从而确保游走的快速混合，并构建了显式有界度数的复形，使得该收敛性成立。

ABSTRACT

Random walks on expander graphs have been extensively studied. We define a high order combinatorial random walk on high dimensional simplicial complexes. This walk moves at random between neighboring i-dimensional faces (e.g. edges) of the complex, where two i-dimensional faces are considered neighbors if they share a common (i + 1)-dimensional face (e.g. a triangle). We prove that if the links of the complex are good spectral expanders, then the high order combinatorial random walk converges quickly. We derive our result about the convergence of the high order random walk by defining a new notion of high dimensional combinatorial expansion of a complex, which we term colorful expansion. We show that spectral expansion of the links of the complex imply colorful expansion of the complex, which in turn implies fast convergence of the high order random walk. We further show the existence of bounded degree high dimensional simplicial complexes which satisfy our criterion, and thus form an explicit family of high dimensional simplicial complexes in which the high order random walk converges rapidly. Our high order combinatorial random walk is different than the high order topological random walk that has recently been defined in [PR]. The topological random walk is associated with the concentration of the spectrum of the high order laplacian on the space that is orthogonal to the coboundaries, while we, in a sense, need to argue about the concentration of the spectrum on the space that is orthogonal to the constant functions, which is a much larger space.

研究动机与目标

• 定义一种在单纯复形上的一类新型高阶随机游走，以推广经典图上的随机游走。
• 通过引入一种新的膨胀准则，解决高维复形中缺乏快速混合随机游走的问题。
• 建立复形链接的谱性质与高阶随机游走收敛速度之间的联系。
• 构建显式有界度数的高维复形族，使得该随机游走实现快速混合。

提出的方法

• 定义一种高阶组合随机游走，使其在共享同一(i+1)维面的相邻i-面之间移动。
• 引入“彩色膨胀”作为单纯复形的一种新型组合膨胀性质。
• 证明复形链接中的谱膨胀性可推出复形的彩色膨胀性。
• 证明彩色膨胀性可导致高阶组合随机游走的快速混合。
• 利用链接上的谱间隙估计，推导出游走的收敛界。
• 构建满足谱链接条件的显式有界度数单纯复形，确保快速收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在单纯复形上定义一种高维随机游走，使其收敛速率由局部谱性质决定？
• RQ2 何种组合膨胀性质可确保此类高阶游走的快速混合？
• RQ3 复形链接的谱性质如何与复形的整体膨胀行为相关联？
• RQ4 是否存在显式构造的、有界度数的高维复形，使得该高阶随机游走实现快速混合？
• RQ5 这种高阶组合游走与基于拉普拉斯谱的拓扑随机游走在行为和分析上存在哪些根本性差异？

主要发现

• 单纯复形链接中的谱膨胀性可推出复形的彩色膨胀性。
• 彩色膨胀性可确保高阶组合随机游走的快速混合。
• 游走的收敛速率由链接的谱间隙决定，而非全局拉普拉斯谱。
• 存在显式构造的有界度数高维单纯复形族，满足谱链接条件，因而支持快速混合游走。
• 高阶组合游走与拓扑随机游走在本质上不同，因其作用于常数函数的正交补空间，而非余上链。
• 该分析框架适用于比以往拓扑随机游走模型更广泛的拓扑空间，为高维膨胀与采样领域开辟了新应用。