[论文解读] High Dimensional Expanders: Random Walks, Pseudorandomness, and Unique Games

Max Hopkins, Tali Kaufman+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 2

一句话总结

该论文利用双侧局部谱膨胀图，为高维膨胀图构建了一个谱框架，表明高阶随机游走的特征值紧密集中在对应于组合层次的少数谱带中。该研究建立了特征值随游走深度呈指数衰减的性质，从而通过局部结构与全局谱衰减相结合，刻画了小集合边膨胀率，进而实现了首个针对约翰逊方案上的仿射唯一游戏的多项式时间算法，其可靠性与高维阈值秩相关。

ABSTRACT

Higher order random walks (HD-walks) on high dimensional expanders have played a crucial role in a number of recent breakthroughs in theoretical computer science, perhaps most famously in the recent resolution of the Mihail-Vazirani conjecture (Anari et al. STOC 2019), which focuses on HD-walks on one-sided local-spectral expanders. In this work we study the spectral structure of walks on the stronger two-sided variant, which capture wide generalizations of important objects like the Johnson and Grassmann graphs. We prove that the spectra of these walks are tightly concentrated in a small number of strips, each of which corresponds combinatorially to a level in the underlying complex. Moreover, the eigenvalues corresponding to these strips decay exponentially with a measure we term the depth of the walk. Using this spectral machinery, we characterize the edge-expansion of small sets based upon the interplay of their local combinatorial structure and the global decay of the walk's eigenvalues across strips. Variants of this result for the special cases of the Johnson and Grassmann graphs were recently crucial both for the resolution of the 2-2 Games Conjecture (Khot et al. FOCS 2018), and for efficient algorithms for affine unique games over the Johnson graphs (Bafna et al. Arxiv 2020). For the complete complex, our characterization admits a low-degree Sum of Squares proof. Building on the work of Bafna et al., we provide the first polynomial time algorithm for affine unique games over the Johnson scheme. The soundness and runtime of our algorithm depend upon the number of strips with large eigenvalues, a measure we call High-Dimensional Threshold Rank that calls back to the seminal work of Barak, Raghavendra, and Steurer (FOCS 2011) on unique games and threshold rank.

研究动机与目标

• 理解在双侧局部谱膨胀图上高阶随机游走的谱结构，其推广了约翰逊图与格拉曼图。
• 通过局部组合结构与谱带间全局特征值衰减，刻画小集合边膨胀率。
• 构建一个支持高效算法的谱框架，尤其适用于唯一游戏，特别是约翰逊方案上的仿射唯一游戏。
• 引入并分析高维阈值秩的概念，作为影响算法可靠性的谱复杂性度量。
• 通过谱工具将先前关于2-2游戏猜想与唯一游戏的结果，扩展到更广泛的高维膨胀图类别。

提出的方法

• 分析双侧局部谱膨胀图上的高阶随机游走，推导出其谱在少量谱带中的集中性，每个谱带对应于底层单纯复形的一个层次。
• 证明特征值随游走深度呈指数衰减，利用将各层次贡献分离的谱分解方法。
• 将小集合边膨胀率与局部组合结构和谱带间特征值衰减速率之间的相互作用联系起来。
• 为完整复形构造低次平方和证明，从而实现对膨胀性质的高效认证。
• 利用谱框架设计出针对约翰逊方案上仿射唯一游戏的多项式时间算法，其可靠性取决于具有大特征值的谱带数量。
• 定义并分析高维阈值秩，作为唯一游戏中阈值秩的推广，用以度量影响算法性能的显著谱带数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 双侧局部谱膨胀图上高阶随机游走的谱如何分布在复形的组合层次上？
• RQ2 特征值随游走深度的衰减在多大程度上决定了高维膨胀图中小集合的膨胀性质？
• RQ3 能否利用这些游走的谱结构，设计出针对约翰逊方案上仿射唯一游戏的高效算法？
• RQ4 显著谱带的数量（通过高维阈值秩量化）如何影响唯一游戏算法的可靠性？
• RQ5 小集合的局部组合结构与全局谱衰减之间以何种方式相互作用，从而决定边膨胀率？

主要发现

• 双侧局部谱膨胀图上高阶随机游走的谱紧密集中在少量谱带中，每个谱带对应于底层复形的一个层次。
• 特征值随游走深度呈指数衰减，建立了游走深度与谱衰减之间的定量联系。
• 小集合边膨胀率由局部组合结构与谱带间全局特征值衰减共同决定。
• 该框架为完整复形提供了低次平方和证明，从而实现了对膨胀性质的高效认证。
• 本文首次提出了针对约翰逊方案上仿射唯一游戏的多项式时间算法，其可靠性取决于具有大特征值的谱带数量。
• 引入并分析了高维阈值秩的概念，证明其推广了Barak等人（2011年）提出的阈值秩，是影响算法可靠性的关键参数。