[论文解读] High-dimensional limit theorems for random vectors in $\ell_p^n$-balls

Zakhar Kabluchko, Joscha Prochno+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文建立了当维度 $n \to \infty$ 时，对均匀分布在 $\ell_p^n$-球中的随机向量的 $\ell_q$-范数的多变量中心极限定理，扩展了 Schechtman 和 Schmuckenschläger 的结果。此外，本文还为所有 $p, q \geq 1$ 的情形推导了这些范数的大型偏差原理（LDP），提供了显式的速率函数，并揭示了在某些参数范围内存在非高斯极限，例如在极端 $q$-范数下出现 Gumbel 或指数分布。

ABSTRACT

In this paper, we prove a multivariate central limit theorem for $\ell_q$-norms of high-dimensional random vectors that are chosen uniformly at random in an $\ell_p^n$-ball. As a consequence, we provide several applications on the intersections of $\ell_p^n$-balls in the flavor of Schechtman and Schmuckenschläger and obtain a central limit theorem for the length of a projection of an $\ell_p^n$-ball onto a line spanned by a random direction $θ\in\mathbb S^{n-1}$. The latter generalizes results obtained for the cube by Paouris, Pivovarov and Zinn and by Kabluchko, Litvak and Zaporozhets. Moreover, we complement our central limit theorems by providing a complete description of the large deviation behavior, which covers fluctuations far beyond the Gaussian scale. In the regime $1\leq p < q$ this displays in speed and rate function deviations of the $q$-norm on an $\ell_p^n$-ball obtained by Schechtman and Zinn, but we obtain explicit constants.

研究动机与目标

• 建立当维度 $n \to \infty$ 时，均匀分布在 $\ell_p^n$-球中的随机向量的 $\ell_q$-范数的多变量中心极限定理。
• 将 Schechtman 和 Schmuckenschläger 关于 $\ell_p^n$-球交集的几何极限定理推广至高维情形。
• 为 $\ell_p^n$-球中随机向量的 $\ell_q$-范数推导大型偏差原理（LDP），涵盖超出高斯尺度的波动。
• 识别当 $p$ 和 $q$ 处于极端参数范围时的非中心极限行为，例如 Gumbel 或指数分布。

提出的方法

• 通过概率表示和渐近分析，证明随机向量 $Z$ 在 $\ell_p^n$-球中时 $\|Z\|_q$ 的多变量中心极限定理。
• 通过将收缩原理应用于 i.i.d. 随机变量的经验 $q$-阶矩，建立 $\|Z\|_q$ 的大型偏差原理（LDP）。
• 利用 Cramér 定理和 Legendre-Fenchel 变换，推导出在 $p < q$ 和 $p = \infty$ 范畴下 LDP 的显式速率函数。
• 分析随机向量的径向分量 $U^{1/n}$，并证明其在极限下渐近可忽略，从而实现序列之间的指数等价性。
• 对经验 $q$-阶矩上的映射 $x \mapsto x^{1/q}$ 应用收缩原理，推导出 $n^{1/q}\|Z\|_q$ 的 LDP。
• 利用 Schechtman 和 Zinn 关于球面上随机向量 $\ell_1$-范数的结果，将其推广至 $\ell_q$-范数，并进一步推广至 $\ell_p^n$-球。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $n \to \infty$ 时，对 $1 \leq p < q < \infty$，均匀随机分布在 $\ell_p^n$-球中的向量的 $\ell_q$-范数的极限分布是什么？
• RQ2 在大型偏差范围内，$\|Z\|_q$ 的波动行为如何，特别是当事件远离典型尺度时？
• RQ3 是否可以对所有 $p, q \geq 1$ 显式刻画 $\|Z\|_q$ 的大型偏差原理，得到可计算的速率函数？
• RQ4 在何种 $p$ 和 $q$ 条件下，$\|Z\|_q$ 的极限分布偏离高斯性？此类情况下的极限分布是什么？
• RQ5 特别是其交集的几何结构，$\ell_p^n$-球的几何特性如何与 $\ell_q$-范数的极限行为相关联？

主要发现

• 本文建立了 $\ell_p^n$-球中 $\|Z\|_q$ 的多变量中心极限定理，表明当 $1 \leq p < q < \infty$ 时，其收敛于高斯分布。
• 当 $p = \infty$ 时，序列 $n^{1/q}\|Z\|_q$ 满足速度为 $n$ 的 LDP，其良好速率函数由 $|Y_i|^q$ 的矩生成函数的 Legendre-Fenchel 变换导出。
• $\|Z\|_q$ 的 LDP 被显式刻画，其速率函数依赖于 $p$ 和 $q$，且在典型值之外非零。
• 在 $1 \leq p < q$ 范畴内，LDP 速率函数显式计算为 $-\frac{1}{p}\left(\left(\frac{\delta}{\varepsilon}\right)^q - M_p(q)\right)^{p/q}$，其在 $n^{p/q}$ 上呈指数衰减。
• 当 $p = \infty$ 时，$\ell_q$-范数表现出非高斯极限分布：当 $q = 1$ 时，极限分布为指数分布；对于一般 $q$，在适当归一化下极限为 Gumbel 分布。
• 随机向量的径向分量 $U^{1/n}$ 在大 $n$ 极限下变得可忽略，从而实现了 $n^{1/q}\|Z\|_q$ 与归一化经验 $q$-阶矩之间的指数等价性，这是证明 LDP 的关键。