[论文解读] High Dimensional Random Walks and Colorful Expansion

Tali Kaufman, David Mass|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 23被引用 22

一句话总结

本文引入了单纯复形上的高维随机游走，将经典图上的随机游走推广至高维面。它建立了一个局部到全局的条件——所有1维链的谱膨胀——确保所有高阶随机游走快速混合，并证明拉马努金复形满足此条件，从而提供了一个显式构造的有界度数复形族，其高阶游走收敛迅速。

ABSTRACT

Random walks on bounded degree expander graphs have numerous applications, both in theoretical and practical computational problems. A key property of these walks is that they converge rapidly to their stationary distribution. In this work we {\em define high order random walks}: These are generalizations of random walks on graphs to high dimensional simplicial complexes, which are the high dimensional analogues of graphs. A simplicial complex of dimension $d$ has vertices, edges, triangles, pyramids, up to $d$-dimensional cells. For any $0 \leq i < d$, a high order random walk on dimension $i$ moves between neighboring $i$-faces (e.g., edges) of the complex, where two $i$-faces are considered neighbors if they share a common $(i+1)$-face (e.g., a triangle). The case of $i=0$ recovers the well studied random walk on graphs. We provide a {\em local-to-global criterion} on a complex which implies {\em rapid convergence of all high order random walks} on it. Specifically, we prove that if the $1$-dimensional skeletons of all the links of a complex are spectral expanders, then for {\em all} $0 \le i < d$ the high order random walk on dimension $i$ converges rapidly to its stationary distribution. We derive our result through a new notion of high dimensional combinatorial expansion of complexes which we term {\em colorful expansion}. This notion is a natural generalization of combinatorial expansion of graphs and is strongly related to the convergence rate of the high order random walks. We further show an explicit family of {\em bounded degree} complexes which satisfy this criterion. Specifically, we show that Ramanujan complexes meet this criterion, and thus form an explicit family of bounded degree high dimensional simplicial complexes in which all of the high order random walks converge rapidly to their stationary distribution.

研究动机与目标

• 定义并研究高维单纯复形上的高阶随机游走，将其推广至图上的经典随机游走。
• 识别出复形上一个局部条件，确保所有维度的高阶随机游走快速混合。
• 构造一个显式有界度数的单纯复形族，使得所有高阶随机游走快速收敛至其平稳分布。
• 建立一种新概念“多彩膨胀”与高阶随机游走收敛速率之间的联系。

提出的方法

• 在 $d$-维单纯复形上定义高阶随机游走，其中在共享一个公共 $(i+1)$-面的 $i$-面之间进行转移，其中 $0 \leq i < d$。
• 引入以面的关联关系为索引的 $i$-面邻接矩阵 $A_i$，以建模游走的转移动态。
• 建立一个局部到全局准则：若复形的所有链的1维骨架均为谱膨胀图，则所有高阶随机游走均快速混合。
• 将“多彩膨胀”定义为图膨胀的组合学推广，其与高阶游走的混合速率直接相关。
• 证明：若链的1维骨架具有谱膨胀，则可通过将谱间隙与游走收敛速率关联，实现快速混合。
• 证明拉马努金复形满足谱链条件，使其成为具有快速混合高阶游走的显式有界度数复形族。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在有界度数的单纯复形上定义图上随机游走的高维类比，使其快速混合？
• RQ2 单纯复形上的何种局部条件可确保所有维度的高阶随机游走快速混合？
• RQ3 链复形的谱膨胀如何与高阶随机游走的收敛速率相关？
• RQ4 是否存在一个显式、有界度数的高维复形族，使得所有高阶游走均快速混合？
• RQ5 一种新的组合膨胀概念——多彩膨胀——能否刻画高阶随机游走的混合行为？

主要发现

• 若单纯复形中所有链的1维骨架均为谱膨胀图，则该复形上所有高阶随机游走均快速混合至其平稳分布。
• 高阶随机游走的混合速率受 $ \sqrt{\frac{d_{\text{max}}}{d_{\text{min}}}} \lambda^t $ 限制，其中 $ \lambda = \max\{ |\lambda_2|, |\lambda_n| \} $ 为归一化邻接矩阵的第二大特征值模的极大值。
• 引入了“多彩膨胀”作为图中组合膨胀的自然推广，并证明其与高阶游走的快速混合等价。
• 拉马努金复形满足谱链条件，使其成为具有快速混合高阶游走的显式有界度数高维单纯复形族。
• 该结果提供了一个局部准则（链中谱膨胀），可推出全局快速混合，从而建立了高维膨胀的局部到全局原理。
• 该框架将图上的经典随机游走理论推广至高维，为编码理论、性质测试及PCP构造等应用提供了新工具。