[论文解读] High efficiently numerical simulation of the TDGL equation with reticular free energy in hydrogel

Jun Han, Hui Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 29, 2017

Material Dynamics and Properties参考文献 13被引用 4

一句话总结

该论文提出两种针对大分子微球复合（MMC）水凝胶相分离模拟的 $L^2$-稳定、二阶半隐式有限差分格式，基于带有网状自由能的时依吉茨堡-朗道（TDGL）方程。引入了一种自适应时间步长策略，可在保持高精度的同时将CPU计算时间减少高达80%，尤其在自由能快速衰减的初始阶段采用较小时间步长，而在变化较小时采用较大时间步长。

ABSTRACT

In this paper, we focus on the numerical simulation of phase separation about macromolecule microsphere composite (MMC) hydrogel. The model equation is based on Time-Dependent Ginzburg-Landau (TDGL) equation with reticular free energy. We have put forward two $L^2$ stable schemes to simulate simplified TDGL equation. In numerical experiments, we observe that simulating the whole process of phase separation requires a considerably long time. We also notice that the total free energy changes significantly in initial time and varies slightly in the following time. Based on these properties, we introduce an adaptive strategy based on one of stable scheme mentioned. It is found that the introduction of the time adaptivity cannot only resolve the dynamical changes of the solution accurately but also can significantly save CPU time for the long time simulation.

研究动机与目标

• 开发用于模拟由带有网状自由能的TDGL方程控制的MMC水凝胶相分离的鲁棒数值格式。
• 通过 $L^2$-范数稳定的格式确保数值稳定性和能量递减特性。
• 通过引入自适应时间步长策略，解决长时间模拟带来的高计算成本问题。
• 通过数值实验验证自适应格式在效率和精度方面的有效性。

提出的方法

• 基于MMC水凝胶的网状自由能，利用变分原理推导并简化TDGL方程。
• 提出两种二阶半隐式有限差分格式：一种涉及高维线性系统的共轭梯度求解，另一种采用牛顿迭代求解非线性系统。
• 实施一种自适应时间步长策略，根据总自由能变化速率调整时间步长——能量快速衰减时采用小步长，变化缓慢时采用大步长。
• 利用格式的能量递减特性，证明在模拟后期可安全使用大时间步长而不影响精度。
• 通过数值实验比较恒定时间步长与自适应时间步长在CPU时间、$L^2$-误差和自由能演化方面的表现。
• 通过与精细恒定时间步长（$\Delta t = 0.001$）的对比，验证自适应策略在总自由能曲线和$L^2$-误差方面的准确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为带有网状自由能的简化TDGL方程构造出 $L^2$-稳定的二阶半隐式格式？
• RQ2 如何在不牺牲精度的前提下降低MMC水凝胶相分离长时间模拟的计算成本？
• RQ3 基于自由能动态的自适应时间步长策略是否能提升具有“粗糙-平滑”演化特征系统模拟的效率？
• RQ4 与恒定时间步长相比，使用自适应时间步长在CPU时间与精度方面的定量性能提升如何？

主要发现

• 与 $\Delta t = 0.001$ 相比，自适应时间步长策略在 $t = 500$ 时将CPU时间减少了约80%，分别耗时2809.4秒与14341.4秒。
• 在 $t = 200$ 时，自适应策略的 $L^2$-误差为0.000325，显著低于恒定时间步长（$\Delta t = 0.05$：0.0376，$\Delta t = 0.01$：0.0083）。
• 自适应策略下的总自由能演化曲线与 $\Delta t = 0.001$ 的结果高度吻合，证实尽管后期采用较大时间步长，精度仍保持很高。
• 该格式保持了能量递减和 $L^2$-稳定性特性，使得在模拟后期安全使用大时间步长成为可能。
• 初始阶段相分离迅速，自由能显著衰减，因此早期采用小时间步长具有合理性。
• 自适应方法通过在后期阶段使用比 $\Delta t = 0.001$ 大达100倍的时间步长，实现了高效率，且误差增加可忽略。