[论文解读] High energy sign-changing solutions to Schrödinger-Poisson type systems

Cyril Joël Batkam|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过一种新颖的变号对称山路定理变体，证明了在有界区域中，Schrödinger-Poisson 系统存在无穷多个高能量变号解。研究证明，无论非线性项为次临界还是临界增长，均存在能量水平任意高的解，从而扩展了以往仅限于次临界增长或非变号解的研究结果。

ABSTRACT

We prove the existence of infinitely many high energy sign-changing solutions for some classes of Schrodinger-Poisson systems in bounded domains, with nonlinearities having subcritical or critical growth. Our approach is variational and relies on an application of a new sign-changing version of the symmetric mountain pass theorem.

研究动机与目标

• 在有界区域中，建立 SCHRÖDINGER-POISSON 系统存在无穷多个高能量变号解的证明。
• 通过允许临界增长非线性项，扩展先前关于变号解的研究结果。
• 解决在临界非线性条件下高能量变号解存在性的开放问题。
• 开发并应用一种基于变号对称山路定理变体的新变分方法。
• 将 fountain 定理框架推广，以适应 SCHRÖDINGER-POISSON 系统中的变号解。

提出的方法

• 应用一种新型变号临界点定理，其模型基于 Barstch 的 fountain 定理，用于处理下降流下的不变集。
• 变分框架建立在 SCHRÖDINGER-POISSON 系统对应的能量泛函之上，同时包含 SCHRÖDINGER 方程和 POISSON 方程。
• 该方法依赖于变形引理和流不变集构造，以确保变号临界点的存在性。
• 引入一个参数依赖的系统 (SP)λ，其中在临界情形下令 λ→0+，以恢复高能量解。
• 证明使用奇数形变收缩和拓扑论证，以验证临界点定理的条件。
• 非线性项 f 满足 (f1)-(f4)，包括次临界增长、临界增长（p=6）以及奇对称性，从而保证变号解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否证明在有界区域中，具有临界非线性项的 SCHRÖDINGER-POISSON 系统存在无穷多个高能量变号解？
• RQ2 对称山路定理是否可推广为一种变号版本，以适用于 SCHRÖDINGER-POISSON 系统？
• RQ3 非线性项 f 需满足何种条件，才能在临界增长存在时保证高能量解的存在性？
• RQ4 能否证明该系统的能量泛函具有能量水平发散的变号临界点序列？
• RQ5 在临界项 u^5 或 u^6 中引入参数 λ，如何影响变号解的存在性及其能量水平？

主要发现

• 在次临界情形（λ=0）下，本文证明了存在一列变号解 (uk, φk)，使得能量泛函在 k→∞ 时趋于无穷大。
• 在临界情形下，存在一列 (λk, uk, φk)，其中 λk→0+，使得解的能量泛函在 k→∞ 时趋于无穷大。
• 解 uk 为变号解，即在区域 Ω 内变号，且为非零解。
• 该方法提供了比以往方法更简洁的证明，尤其在次临界情形下，此前虽被声称但未完全确立。
• 研究结果将已知的变号解存在性从次临界区域扩展至临界情形，解决了临界非线性下该问题的开放性。
• 该方法具有鲁棒性，适用于次临界与临界增长非线性项，展示了新型变号临界点定理的灵活性。