[论文解读] High frequency integrable regimes in nonlocal nonlinear optics

Antonio Moro, B. G. Konopelchenko|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2006

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 44被引用 3

一句话总结

本文提出了一类可积模型，用于描述非局部非线性介质（Cole-Cole型）中的高频光束，该模型作为麦克斯韦方程和非局部非线性薛定谔方程的高频极限推导得出。通过无色散Veselov-Novikov（dVN）阶梯，证明了自聚焦光束的存在性，并通过准经典$\bar{\partial}$-穿衣方法揭示了非局部几何光学与拟共形映射之间的深层联系。

ABSTRACT

We consider an integrable model which describes light beams propagating in nonlocal nonlinear media of Cole-Cole type. The model is derived as high frequency limit of both Maxwell equations and the nonlocal nonlinear Schroedinger equation. We demonstrate that for a general form of nonlinearity there exist selfguided light beams. In high frequency limit nonlocal perturbations can be seen as a class of phase deformation along one direction. We study in detail nonlocal perturbations described by the dispersionless Veselov-Novikov (dVN) hierarchy. The dVN hierarchy is analyzed by the reduction method based on symmetry constraints and by the quasiclassical Dbar-dressing method. Quasiclassical Dbar-dressing method reveals a connection between nonlocal nonlinear geometric optics and the theory of quasiconformal mappings of the plane.

研究动机与目标

• 识别在高频近似下非局部非线性光学中的可积区域。
• 分析Cole-Cole介质中弱非局部性作为沿传播方向相位形变的作用。
• 建立非局部几何光学与平面拟共形映射之间的联系。
• 证明在满足椭圆性条件的一般非线性响应类中，自聚焦光束的存在性。
• 探索螺旋波前中相位奇点与波前位错的结构，超越标准几何光学近似。

提出的方法

• 推导麦克斯韦方程和非局部非线性薛定谔方程的高频极限，获得带有非局部相位修正的几何光学模型。
• 采用$\omega^{-\alpha}$的渐近展开，将非局部扰动与波分量分离，将其视为$S_x$和$S_y$的多项式。
• 利用对称性约束和准经典$\bar{\partial}$-穿衣方法分析无色散Veselov-Novikov（dVN）阶梯。
• 建立非局部性与横向相位梯度多项式次数之间的一一对应关系。
• 采用Beltrami方程和$\bar{\partial}$-穿衣形式化方法，将解与复平面上的拟共形映射联系起来。
• 施加相位反转对称性（$S \to -S$），以推导出dVN阶梯作为一组可积非线性PDE系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高频近似下，非局部非线性光学中是否能出现可积区域？
• RQ2 Cole-Cole介质中的非局部扰动如何影响光束沿传播方向的相位演化？
• RQ3 无色散Veselov-Novikov阶梯在描述非局部介质中自聚焦光束时起什么作用？
• RQ4 在超越几何光学近似的情况下，螺旋光束中的相位奇点与波前位错如何描述？
• RQ5 非局部几何光学与拟共形映射之间在数学和物理上存在何种联系？

主要发现

• 在满足椭圆性条件的一般非线性响应类中，非局部非线性介质中存在自聚焦光束。
• 沿$z$方向的非局部扰动由$S_x$和$S_y$的多项式描述，多项式次数与非局部性强度之间存在一一对应关系。
• dVN阶梯作为保持相位反转对称性的非局部相位形变的可积系统而出现。
• 准经典$\bar{\partial}$-穿衣方法通过Beltrami方程揭示了非局部几何光学与拟共形映射之间的直接联系。
• 螺旋波前中的相位奇点在几何光学模型中导致强度发散，表明在涡旋核心附近该近似失效。
• 该模型预测了此前未考虑的非平凡奇异相位结构，提示其可能与非局部介质中的暗孤子存在关联。