[论文解读] High-frequency market-making for multi-dimensional Markov processes

Pietro Fodra, Mauricio Labadie|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文针对多维马尔可夫过程开发了一种高频做市策略，通过随机控制方法整合了库存风险、交易成本和方向性头寸。该研究在库存风险参数ε的一阶近似下，提供了哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的显式摄动解，表明最优买卖价差因交易成本而扩大，但每笔交易的预期收益保持不变，且证明最优库存向量由相关风险惩罚下的L²-范数决定。

ABSTRACT

In this paper we complete and extend our previous work on stochastic control applied to high frequency market-making with inventory constraints and directional bets. Our new model admits several state variables (e.g. market spread, stochastic volatility and intensities of market orders) provided the full system is Markov. The solution of the corresponding HJB equation is exact in the case of zero inventory risk. The inventory risk enters into play in two ways: a path-dependent penalty based on the volatility and a penalty at expiry based on the market spread. We perform perturbation methods on the inventory risk parameter and obtain explicitly the solution and its controls up to first order. We also include transaction costs; we show that the spread of the market-maker is widened to compensate the transaction costs, but the expected gain per traded spread remains constant. We perform several numerical simulations to assess the effect of the parameters on the PNL, showing in particular how the directional bet and the inventory risk change the shape of the PNL density. Finally, we extend our results to the case of multi-aset market-making strategies; we show that the correct notion of inventory risk is the L2-norm of the (multi-dimensional) inventory with respect to the inventory penalties.

研究动机与目标

• 将高频做市模型扩展至一般马尔可夫框架下的多状态变量。
• 在随机控制设定中，同时纳入路径依赖型与到期日相关的库存风险惩罚。
• 分析交易成本对做市商价差与预期利润的影响。
• 通过相关风险惩罚下的库存向量L²-范数，将最优控制框架推广至多资产策略。
• 为库存风险提供HJB方程的一阶摄动解，实现可实用的数值实现。

提出的方法

• 为包含中价、价差、波动率与库存动态的多维马尔可夫过程，构建一般化的HJB方程。
• 通过假设解的形式，将HJB方程简化为关于库存与状态变量的可解值函数形式。
• 通过最大化HJB方程中的跳跃项，推导出买卖价差的最优控制，获得涉及值函数差值的显式表达式。
• 利用库存风险参数ε的摄动方法，将验证方程求解至一阶，实现解析可处理性。
• 通过表明价差与交易成本成比例扩大，同时每笔交易的预期收益保持不变，将交易成本纳入模型。
• 通过库存向量的L²-范数与对称正定风险惩罚矩阵Ω和Λ，将模型扩展至多资产策略。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有库存约束的一般多维马尔可夫状态过程中，如何构建高频做市策略？
• RQ2 路径依赖型与到期日相关的库存风险惩罚对最优做市策略有何影响？
• RQ3 交易成本如何影响最优买卖价差与每笔交易的预期利润？
• RQ4 在多资产做市中，库存风险应如何度量？相关性在此过程中起什么作用？
• RQ5 当库存风险较小时，最优控制策略的结构是怎样的？如何通过摄动方法进行近似？

主要发现

• 最优价差ψ_α∗与交叉相关性无关，而最优中心r_α∗通过矩阵π̃同时体现方向性头寸与库存暴露。
• 由于交易成本的存在，最优价差扩大，但每笔交易的预期收益保持不变，表明成本已完全转嫁，未造成盈利能力损失。
• 当库存风险较小（ε）时，HJB方程的解在ε的一阶下被显式推导，可通过摄动技术实现实际应用。
• 最优库存向量通过最小化双线性形式q′Ωq + ∫q′Λq dξ确定，该形式定义了一个椭球风险曲面，在存在相关性时更倾向于多样化投资组合。
• 在两资产正相关ρ的情况下，(1,−1)组合的风险低于(2,0)或(1,1)，表明做空对冲策略具有优势。
• 当不以绝对库存最小化为目标，而改用相关惩罚衡量风险时，若能降低风险范数，做市商可能更偏好更高的绝对库存，如(2,−1)优于(2,0)的示例所示。