[论文解读] High-frequency sampling of multivariate CARMA processes

Péter Kevei|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文研究了多变量连续时间自回归移动平均（MCARMA）过程的高频采样问题，推导出当采样间隔 Δ 趋近于零时，谱密度的渐近展开式。结果表明，经过适当滤波的采样过程收敛于一个向量移动平均过程，将单变量结果推广至多变量情形，并为高频数据分析提供了可处理的近似方法。

ABSTRACT

High-frequency sampled multivariate continuous time autoregressive moving average processes are investigated. We obtain asymptotic expansion for the spectral density of the sampled MCARMA process $(Y_{nΔ})_{n \in \mathbb{Z}}$ as $Δ\downarrow 0$, where $(Y_t)_{t \in \mathbb{R}}$ is an MCARMA process. We show that the properly filtered process is a vector moving average process, and determine the asymptotic moving average representation of it, thus generalizing the results by Brockwell et al. in the univariate case to the multivariate model. The determination of the moving average representation of the filtered process, important for the analysis of high-frequency data, is difficult for any fixed positive $Δ$. However, the results established here provide a useful and insightful approximation when $Δ$ is very small.

研究动机与目标

• 分析在采样间隔 Δ → 0 时，离散采样多变量CARMA过程的谱密度渐近行为。
• 将单变量CARMA过程在高频采样下的结果推广至多变量设置。
• 推导滤波后采样过程的渐近移动平均表示，从而实现对高频数据的实用分析。
• 为当 Δ 较小但为正时的移动平均表示提供严格的近似框架，克服在固定 Δ 下精确计算的困难。

提出的方法

• 利用状态空间表示和 Lévy 驱动的随机微分方程，推导采样 MCARMA 过程 (Y_{nΔ})_{n∈ℤ} 的谱密度。
• 对谱密度应用渐近展开技术，当 Δ ↓ 0 时，重点关注主导项。
• 利用传递函数 g(t) = ∫ e^{i t x} P(ix)^{-1} Q(ix) dx 表示 MCARMA 过程的谱表示。
• 通过分析谱密度的渐近行为及传递函数结构，证明滤波过程收敛于向量移动平均过程。
• 采用切比雪夫多项式与欧拉多项式刻画渐近展开中的系数。
• 引入基于广义欧拉多项式根的谱密度因式分解方法，并在根为复数时仍构造实值因式分解，确保渐近表示中系数为实数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 Δ → 0 时，高频采样多变量CARMA过程的谱密度渐近形式为何？
• RQ2 滤波后的采样过程在渐近下如何表现？是否可表示为向量移动平均过程？
• RQ3 滤波过程的渐近移动平均表示是什么？其如何将单变量结果推广至多变量情形？
• RQ4 谱密度展开的主导项能否分解为对应于实系数移动平均表示的若干项之积？
• RQ5 相关多项式根为实数的条件是什么？这如何影响谱密度的因式分解？

主要发现

• 采样 MCARMA 过程的谱密度在 Δ ↓ 0 时具有渐近展开，主导项与 Δ^{2(p−q)−1} (1−cos ω)^{pd} 乘以一个三角函数成正比。
• 滤波过程在分布上收敛于向量移动平均过程，其渐近移动平均表示已被显式推导。
• 渐近展开中的主导系数由系统矩阵 A 的特征值乘积与欧拉多项式系数共同决定。
• 通过将谱密度因式分解为含 (1−cos ω − ξ_j) 的项，即使根 ξ_j 为复数，也能实现实值移动平均表示，这是由于共轭对称性。
• 该方法为 Δ 较小但为正时提供了移动平均表示的实用近似，而该近似在固定 Δ > 0 时通常难以精确计算。
• 本文猜想广义欧拉多项式的根 ξ_{2k−1,j} 为实数且大于 2，这将确保 η(ξ_j) 为实数，从而保证因式分解中系数为实数。