[论文解读] High order algorithms for Fokker-Planck equation with Caputo-Fabrizio fractional derivative

Minghua Chen, Jiankang Shi+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Fractional Differential Equations Solutions被引用 5

一句话总结

本文针对具有Caputo-Fabrizio分数阶导数的Fokker-Planck方程，开发了高阶数值算法，基于连续时间随机行走理论框架，并将分数阶本质微积分的离散化方法加以扩展。该方法实现了无条件稳定性和全局截断误差𝒪(τ² + h²)的收敛性，理论与数值验证均针对ν = 1,2,3,4的情形完成。

ABSTRACT

Based on the continuous time random walk, we derive the Fokker-Planck equations with Caputo-Fabrizio fractional derivative, which can effectively model a variety of physical phenomena, especially, the material heterogeneities and structures with different scales. Extending the discretizations for fractional substantial calculus [Chen and Deng, \emph{ ESAIM: M2AN.} extbf{49}, (2015), 373--394], we first provide the numerical discretizations of the Caputo-Fabrizio fractional derivative with the global truncation error $\mathcal{O}(τ^ν)$ $ (ν=1,2,3,4)$. Then we use the derived schemes to solve the Caputo-Fabrizio fractional diffusion equation. By analysing the positive definiteness of the stiffness matrices of the discretized Caputo-Fabrizio operator, the unconditional stability and the convergence with the global truncation error $\mathcal{O}(τ^2+h^2)$ are theoretically proved and numerical verified.

研究动机与目标

• 利用具有Caputo-Fabrizio分数阶导数的Fokker-Planck方程，对涉及材料非均质性和多尺度结构的复杂物理现象进行建模。
• 将现有的分数阶本质微积分离散化方法进行扩展，以实现Caputo-Fabrizio导数在时间方向上的高阶精度。
• 建立所提格式的无条件稳定性和收敛性的理论与数值验证。
• 分析由离散化Caputo-Fabrizio算子产生的刚度矩阵的正定性，以支持稳定性证明。

提出的方法

• 从连续时间随机行走框架推导出具有Caputo-Fabrizio分数阶导数的Fokker-Planck方程。
• 改编并扩展Chen与Deng（2015）针对分数阶本质微积分提出的高阶离散化格式，应用于Caputo-Fabrizio导数，实现全局截断误差𝒪(τ^ν)（ν = 1,2,3,4）。
• 将所推导的格式应用于数值求解Caputo-Fabrizio分数阶扩散方程。
• 分析离散化算子的刚度矩阵，证明其正定性，为稳定性分析提供理论基础。
• 通过理论分析，建立无条件稳定性和全局误差𝒪(τ² + h²)的收敛性。
• 通过数值实验验证理论结果，确认预测的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为Caputo-Fabrizio分数阶导数构建高阶时间离散化格式，以提高求解Fokker-Planck方程的精度？
• RQ2 何种条件可确保Caputo-Fabrizio分数阶扩散方程数值格式的无条件稳定性？
• RQ3 能否对离散化Caputo-Fabrizio算子的刚度矩阵正定性进行严格证明？
• RQ4 所提高阶格式的全局收敛速率是多少？与现有方法相比有何差异？
• RQ5 数值实验在多大程度上验证了理论预测的稳定性和收敛性？

主要发现

• 所提出的高阶离散化格式在时间方向上实现了全局截断误差𝒪(τ^ν)（ν = 1,2,3,4），扩展了分数阶本质微积分的前期工作。
• 由Caputo-Fabrizio算子导出的刚度矩阵被证明具有正定性，为无条件稳定性的理论依据提供了支持。
• 理论分析证实了数值格式的无条件稳定性，这对长时间模拟至关重要。
• 格式的收敛速率被严格证明为𝒪(τ² + h²)，时间与空间分量共同贡献于误差。
• 数值实验验证了理论预测的收敛速率，证实了所提方法的精度与鲁棒性。
• 该框架通过Caputo-Fabrizio分数阶导数，有效模拟了具有材料非均质性和多尺度结构的物理系统。