[论文解读] High order conservative Semi-Lagrangian scheme for the BGK model of the Boltzmann equation

Sebastiano Boscarino, Seung Yun Cho+2 more|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Gas Dynamics and Kinetic Theory参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于玻尔兹曼方程BGK模型的高阶保守半拉格朗日有限差分格式，解决了两个关键的守恒性失效问题：(1) 通过使用离散麦克斯韦分布，消除离散速度空间分辨率误差；(2) 通过通量差分保守校正，恢复非线性重构导致的守恒性损失。该格式在极少的速度网格点下实现了质量、动量和能量的机器精度守恒，并在克努森数趋于零时保持欧拉极限的渐近保持性。

ABSTRACT

In this paper, we present a conservative semi-Lagrangian finite-difference scheme for the BGK model. Classical semi-Lagrangian finite difference schemes, coupled with an L-stable treatment of the collision term, allow large time steps, for all the range of Knudsen number. Unfortunately, however, such schemes are not conservative. There are two main sources of lack of conservation. First, when using classical continuous Maxwellian, conservation error is negligible only if velocity space is resolved with sufficiently large number of grid points. However, for a small number of grids in velocity space such error is not negligible, because the parameters of the Maxwellian do not coincide with the discrete moments. Secondly, the non-linear reconstruction used to prevent oscillations destroys the translation invariance which is at the basis of the conservation properties of the scheme. As a consequence the schemes show a wrong shock speed in the limit of small Knudsen number. To treat the first problem and ensure machine precision conservation of mass, momentum and energy with a relatively small number of velocity grid points, we replace the continuous Maxwellian with the discrete Maxwellian introduced by Mieussens. The second problem is treated by implementing a conservative correction procedure based on the flux difference form. In this way we can construct a conservative semi-Lagrangian scheme which is Asymptotic Preserving (AP) for the underlying Euler limit, as the Knudsen number vanishes. The effectiveness of the proposed scheme is demonstrated by extensive numerical tests.

研究动机与目标

• 解决经典半拉格朗日格式在BGK模型中，特别是在低速度网格区域下守恒性缺失的问题。
• 校正由非线性重构引起的平移不变性破坏，从而避免在克努森数较小时导致激波速度失真。
• 通过使用离散麦克斯韦分布而非连续麦克斯韦分布，确保质量、动量和能量的机器精度守恒。
• 开发一种在克努森数趋于零时保持渐近保持性（AP）的格式。
• 在保持守恒性和稳定性的同时，通过L-稳定处理碰撞项，实现大时间步长下的高阶精度。

提出的方法

• 用[17]中的离散麦克斯韦分布替代连续麦克斯韦分布，以确保即使在粗略速度网格下也能精确守恒矩。
• 基于[21]中的通量差分形式，实施保守校正程序，以恢复非线性重构过程中损失的守恒性质。
• 采用DIRK（对角隐式Runge-Kutta）或BDF（后向微分公式）时间离散化，并对BGK碰撞项进行L-稳定处理，以支持大时间步长。
• 在半拉格朗日框架中，通过高阶空间和时间插值计算特征轨迹。
• 施加周期性边界条件，以在整个计算域内保持总质量、动量和能量守恒。
• 利用通量差分校正和矩一致性界，推导离散守恒误差估计，证明在适当的稳定性条件下，误差可收敛至机器精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何使BGK模型的半拉格朗日格式在使用少量速度网格点时，实现质量、动量和能量的机器精度守恒？
• RQ2 在使用连续麦克斯韦分布和非线性重构时，经典半拉格朗日格式中守恒性损失的根本原因是什么？
• RQ3 基于通量差分的保守校正是否能够恢复守恒性，同时保持高阶精度和稳定性？
• RQ4 所提出的格式在克努森数较小时是否保持渐近保持性（AP）特性，从而确保正确的欧拉动力学？
• RQ5 离散格式中矩守恒的理论误差界是什么？其随时间步长和容差的变化规律如何？

主要发现

• 使用离散麦克斯韦分布替代连续麦克斯韦分布，可消除因速度网格分辨率不足导致的矩守恒误差，从而在速度点数较少时也能实现机器精度守恒。
• 通量差分保守校正成功恢复了平移不变性，防止了在克努森数较小时出现的虚假激波速度误差。
• 该格式实现了渐近保持（AP）行为：当克努森数κ → 0时，解的矩收敛至可压缩欧拉方程。
• 为DIRK和BDF格式推导了守恒误差估计，表明总矩误差受重构容差和时间步长的乘积项有界，且显式常数依赖于Butcher表系数。
• 对于阶数s=1,2,3的DIRK格式，守恒误差被有界为(Σ|bₖ|) * (NₜΔt)/(κ + bₛΔt) * (x_max - x_min) * tol，当tol → 0时，误差收敛至机器精度。
• 对于阶数s=2,3的BDF格式，误差界包含额外因子γₛ和βₛ，其中γ₂ = 3/2，γ₃ = 146/11，反映出时间推进过程的复杂性增加，但仍能保证守恒误差有界。