[论文解读] High-order convergent Finite-Elements Direct Transcription Method for Constrained Optimal Control Problems

Martin Neuenhofen|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2017

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文提出了一种高阶收敛的有限元方法，用于求解具有通用微分代数方程（DAEs）、点态约束和不等式约束的约束非线性最优控制问题。通过使用正则化惩罚-障碍泛函，并利用有限元空间中的局部严格凸性和利普希茨连续性，该方法在较弱假设下实现了高阶收敛，支持灵活的分量级网格细化，并通过通用求解器实现高效的稀疏感知非线性规划（NLP）求解。

ABSTRACT

In this paper we present a finite element method for the direct transcription of constrained non-linear optimal control problems. We prove that our method converges of high order under mild assumptions. Our analysis uses a regularized penalty-barrier functional. The convergence result is obtained from local strict convexity and Lipschitz-continuity of this functional in the finite-element space. The method is very flexible. Each component of the numerical solution can be discretized with a different mesh. General differential-algebraic constraints of arbitrary index can be treated easily with this new method. From the discretization results an unconstrained non-linear programming problem (NLP) with penalty- and barrier-terms. The derivatives of the NLP functions have a sparsity pattern that can be analysed and tailored in terms of the chosen finite-element bases in an easy way. We discuss how to treat the resulting NLP in a practical way with general-purpose software for constrained non-linear programming.

研究动机与目标

• 开发一种针对具有通用 DAEs、点态约束和不等式约束的约束最优控制问题的高阶收敛数值方法。
• 在较弱假设下，通过使用正则化惩罚-障碍泛函，为所提出的方法建立严格的收敛性保证。
• 通过允许对解向量的每个分量使用不同的网格，实现灵活的空间离散化。
• 确保所得的非线性规划（NLP）问题保持一种结构化的稀疏模式，可被通用求解器高效求解。
• 提供一种实用的框架，通过内点法结合对数障碍函数求解离散 NLP，确保在适当参数设置下与原问题等价。

提出的方法

• 该方法在时间域上对状态变量和控制变量进行有限元离散化，且对解向量的每个分量独立进行网格细化。
• 使用正则化惩罚-障碍泛函处理约束，将等式约束（通过惩罚项）和不等式约束（通过障碍项）统一整合到一个无约束 NLP 公式中。
• 使用高阶有限元对代价泛函和约束函数进行离散化，确保数值解以高阶收敛于真实最优控制。
• 所得 NLP 具有显式依赖于所选有限元基函数的稀疏模式，从而可在线性代数内核中实现高效计算与利用。
• 使用内点法（如 IPOPT 或 Knitro）求解 NLP，结合对数障碍函数和参数延续策略，以保持与原问题的等价性。
• 该方法允许使用较小的、固定的惩罚参数 ω 和障碍参数 τ，且可在求解器中将 τ 设为 ϑ 以确保与原问题的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种有限元方法，使其在具有通用 DAEs 和不等式约束的约束最优控制问题中实现高阶收敛？
• RQ2 在较弱假设下，使用正则化惩罚-障碍泛函是否能确保收敛到局部最优解？
• RQ3 该方法能否在不损害收敛性或稀疏性的情况下，支持对解向量各分量的独立、自适应网格细化？
• RQ4 如何构建所得 NLP 以保持一种稀疏模式，从而可被通用求解器高效求解？
• RQ5 在使用内点法时，通过惩罚项和障碍项重新表述 NLP 是否能保持与原最优控制问题的等价性，特别是当参数设置得当时？

主要发现

• 所提出的有限元方法在较弱假设下（包括正则化惩罚-障碍泛函在有限元空间中的局部严格凸性和利普希茨连续性）对约束最优控制问题实现了高阶收敛。
• 该方法支持对解向量各分量的独立、分量级网格细化，从而可高效处理具有不同正则性或动力学特性的解分量。
• 所得 NLP 继承了由有限元基函数直接决定的结构化稀疏模式，从而可在线性代数运算中实现高效利用。
• NLP 公式设计为与通用内点求解器（如 IPOPT 和 Knitro）兼容，且可通过将障碍参数 ϑ 设为 τ 来确保与原问题的等价性。
• 数值实验表明，当积分点数量超过自由度数量时，该方法仍保持可行性，而其他公式可能变得不可行。
• 该方法为求解具有 DAEs、点态约束和不等式约束的复杂最优控制问题提供了一个鲁棒且灵活的框架，具备收敛性保证和实际可求解性。