[论文解读] High-Order Curvilinear Finite Element Magneto-Hydrodynamics I: A Conservative Lagrangian Scheme

Jan Nikl, Milan Kuchařík+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2021

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 53被引用 7

一句话总结

本论文提出了一种基于曲线网格的高阶、保守拉格朗日有限元格式，用于电阻性磁流体动力学（RMHD）模拟。该方法精确保持质量、动量、磁通量和总能量的守恒，同时维持磁场的散度为零。该方法实现了任意阶的空间收敛率，并采用保守的高阶时间积分格式，通过隐式处理电阻率扩散项以保证稳定性。

ABSTRACT

Magneto-hydrodynamics is one of the foremost models in plasma physics with applications in inertial confinement fusion, astrophysics and elsewhere. Advanced numerical methods are needed to get an insight into the complex physical phenomena. The classical Lagrangian methods are typically limited to the low orders of convergence and suffer from violation of the divergence-free condition for magnetic field or conservation of the invariants. This paper is the first part of a new series about high-order non-ideal magneto-hydrodynamics, where a multi-dimensional conservative Lagrangian method based on curvilinear finite elements is presented. The condition on zero divergence of magnetic field and conservation of mass, momentum, magnetic flux and the total energy are satisfied exactly. The curvilinear elements prevent entangling of the computational mesh and its imprinting into the solution. A high-order conservative time integration is applied, where an arbitrary order of convergence is attained for problems of ideal magneto-hydrodynamics. The resistive magnetic field diffusion is solved by an implicit scheme. Description of the method is given and multiple test problems demonstrating properties of the scheme are performed. The construction of the method and possible future directions of development are discussed.

研究动机与目标

• 开发一种高阶、保守的拉格朗日方法用于电阻性MHD，以克服经典低阶格式的局限性。
• 在多维模拟中精确保持质量、动量、磁通量和总能量的守恒。
• 通过基于边的有限元方法及适当的变换规则，精确维持磁场的散度为零约束。
• 通过在曲线网格上使用高阶多项式基函数，实现任意阶的空间收敛率。
• 通过为磁扩散项采用隐式时间积分格式，确保在电阻率区域的稳定性。

提出的方法

• 在曲线有限元上采用弱伽辽金弱形式对RMHD方程进行空间离散化。
• 采用基于边的有限元（Raviart-Thomas型与Nédélec型）对磁场和电场进行离散，以精确满足∇·B = 0。
• 应用等参数映射处理曲边单元，保持几何一致性。
• 实现一种保守的高阶时间积分格式，包括IMEX和RK2-平均方法，适用于理想与电阻性MHD。
• 采用半离散弱形式，基于拉格朗日运动参考系中的弱形式推导质量矩阵、刚度矩阵与通量矩阵。
• 采用离散变分格式，通过一致的数值通量保持能量平衡与坡印廷矢量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种高阶、保守的拉格朗日有限元方法用于电阻性MHD，以保持关键物理不变量？
• RQ2 在高阶拉格朗日框架中，如何精确强制实现磁场的无散度条件？
• RQ3 在保持守恒性与稳定性的同时，该方法在多大程度上可实现任意阶的空间收敛率？
• RQ4 对电阻率扩散项采用隐式处理，如何影响格式的稳定性和精度？
• RQ5 该方法能否在非结构化曲线网格上保持守恒性与几何一致性？

主要发现

• 对于理想MHD问题，该方法实现了质量、动量、磁通量与总能量的精确守恒。
• 由于采用基于边的有限元并辅以适当的变换规则，磁场的无散度条件被精确满足。
• 理论上，该方法在理想MHD中实现了任意阶的空间收敛率，数值验证确认了最优收敛率。
• 对电阻率磁扩散项采用隐式格式，确保了在长时间模拟中的稳定性，即使在强压缩条件下亦然。
• 在测试问题（如磁扩散、古德莱伊型流场）上的数值基准测试验证了该方法的鲁棒性与精度。
• 在PETE2代码中的实现表明，该方法与多物理场模拟兼容，并可在非结构化曲线网格上实现高阶精度。