[论文解读] High-order entropy stable discontinuous Galerkin methods for the shallow water equations: curved triangular meshes and GPU acceleration

Xinhui Wu, Jesse Chan+1 more|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 35被引用 8

一句话总结

本文提出了一种在曲边三角形网格上求解浅水方程的高阶熵稳定不连续伽辽金（DG）方法，确保了守恒性与离散熵稳定性。通过GPU加速，高阶单元的计算成本比为2.5倍，表明在三角形上，ESDG比传统DG慢1.5–2.5倍，这是由于算术运算量增加所致，尽管GPU略微缩小了性能差距。

ABSTRACT

We present a high-order entropy stable discontinuous Galerkin (ESDG) method for the two dimensional shallow water equations (SWE) on curved triangular meshes. The presented scheme preserves a semi-discrete entropy inequality and remains well-balanced for continuous bathymetry profiles. We provide numerical experiments which confirm the high-order accuracy and theoretical properties of the scheme, and compare the presented scheme to an entropy stable scheme based on simplicial summation-by-parts (SBP) finite difference operators. Finally, we report the computational performance of an implementation on Graphics Processing Units (GPUs) and provide comparisons to existing GPU-accelerated implementations of high-order DG methods on quadrilateral meshes.

研究动机与目标

• 开发一种在曲边三角形网格上求解浅水方程的高阶熵稳定DG格式，以保持离散熵与守恒性。
• 将熵稳定DG方法从结构化的四边形单元扩展至具有曲面几何的非结构化三角形单元。
• 在GPU上实现并基准测试该格式，与传统DG及现有GPU加速DG方法进行计算性能对比。
• 分析熵稳定DG相对于标准DG的计算成本，特别是针对三角形与四边形单元的差异。
• 确保该方法在连续底床剖面下保持守恒性，并维持高阶精度与稳定性。

提出的方法

• 采用模态DG格式，结合任意体积与面积分的高斯求积规则，实现在曲边三角形单元上的高阶精度。
• 利用混合求和法（SBP）算子构建满足离散熵不等式的熵稳定DG格式。
• 实施一种守恒性重构策略，以保持连续底床剖面下的“静水湖”状态。
• 使用OCCA框架实现GPU加速内核，对ESDG与传统DG的体积运算均进行多线程优化。
• 推导并评估ESDG体积内核的计算成本，其每单元涉及$O(N_q^2)$次通量评估，原因在于斜对称通量矩阵运算。
• 对比ESDG与传统DG在CPU与GPU上的运行时间比，分析其随多项式阶数$N$的性能扩展特性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在曲边三角形网格上构建适用于浅水方程的熵稳定且守恒的高阶DG格式？
• RQ2 与标准DG相比，熵稳定DG在三角形单元上的计算成本开销是多少？其随多项式阶数如何变化？
• RQ3 GPU加速如何影响熵稳定DG与传统DG在三角形单元上的性能差距？
• RQ4 为何ESDG在三角形单元上的内核成本比在四边形单元上更高？与先前优化的GPU-SBP-DG实现相比有何差异？
• RQ5 GPU在多大程度上缓解了熵稳定DG在三角形单元上的计算惩罚？

主要发现

• 所提出的曲边三角形网格ESDG格式在数值实验中验证了其离散熵稳定性与连续底床下的守恒性，与理论预期一致。
• ESDG体积内核在三角形单元上的运行速度至少比传统DG慢1.5倍，对于高阶多项式（$N \approx 12$）时成本比接近2.5。
• 在GPU上，ESDG与传统DG之间的性能差距虽减小但未消除，高阶单元的$R_{GPU}$仍维持在约2.5。
• ESDG成本更高的原因在于每矩阵条目需进行$O(N_q^2)$次通量评估，而标准DG仅需$O(N_q)$次，尽管两者的渐近浮点运算量相近。
• 由于$O(N_q^2)$运算量主要由算术操作主导，而非内存带宽，因此成本比趋于常数；而四边形单元SBP-DG受内存带宽限制，表现不同。
• 当$N \approx 12$时，运行时间比再次下降，原因是算术操作量最终超过内存访问瓶颈，但比值仍稳定在约2.5。