[论文解读] High order finite difference schemes for some nonlinear diffusion equations with an obstacle term

Olivier Bokanowski, Kristian Debrabant|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2018

Differential Equations and Numerical Methods被引用 3

一句话总结

本文提出基于后向微分公式（BDF）的高阶有限差分格式，用于求解带障碍项的一维非线性扩散方程，包括美式期权的应用。该方法在空间和时间上均实现无条件二阶收敛，并为其中一种格式建立了新颖的无条件稳定性结果，同时提供了 $L^2$ 误差估计，其阶数为 $1/2$。该方法能够处理 $v_{xx}$ 中的不连续性，并加深了对在该背景下Crank-Nicolson格式行为的理解。

ABSTRACT

Old and novel finite difference schemes, using Backward Differentiation Formula (BDF), are studied for the approximation of one-dimensional non-linear diffusion equations with an obstacle term, of the form \[\min(v_t - a(t,x) v_{xx} + b(t,x) v_x + r(t,x) v, v- \varphi(t,x))= f(t,x).\] A new unconditional stability result is obtained for one of the schemes, second order consistent in both space and time. Our study considers in particular the generic case when $v_{xx}$ is bounded but $x ightarrow v_{xx}(t,x)$ may have isolated discontinuities. Numerical examples show second order convergence in both space and time, unconditionally on the ratio of the mesh steps. An $L^2$ error estimate of order $\frac{1}{2}$ is furthermore obtained. Application to the American option problem in mathematical finance is given and used throughout the paper. Also a Crank-Nicolson finite difference scheme is revisited to better explain its behavior, which may switch from second order to first order, depending on the mesh parameters. In the analysis, an equivalence of the obstacle equation with a Hamilton-Jacobi-Bellman equation is also mentioned in the case when there is no time dependency in the coefficients. We also consider two academic problems with explicit solutions for parabolic equations with an obstacle term, in order to study the relevance of the proposed schemes.

研究动机与目标

• 开发用于带障碍项的非线性扩散方程的高阶有限差分格式，尤其适用于二阶导数存在不连续性的情形。
• 建立基于二阶BDF格式在空间和时间上的无条件稳定性。
• 分析收敛行为，特别是当时间步长与空间步长之比不受限制时的表现。
• 改进对Crank-Nicolson格式性能的理解，该格式在某些网格参数下可能从二阶降为一阶。
• 将该格式应用于数学金融中的美式期权定价问题，作为关键的驱动应用场景。

提出的方法

• 采用后向微分公式（BDF）对时间导数进行离散化，实现时间方向的二阶精度。
• 空间导数通过有限差分近似，对 $v_{xx}$ 可能存在孤立不连续性的点进行特殊处理。
• 在每个网格点上数值实现障碍条件 $\min(v_t - a(t,x)v_{xx} + b(t,x)v_x + r(t,x)v, v - \varphi(t,x)) = f(t,x)$。
• 在系数为时间无关的情况下，建立了障碍方程与哈密顿-雅可比-贝尔曼方程之间的等价关系。
• 使用两个具有已知解析解的学术测试问题验证格式并评估收敛率。
• 重新审视Crank-Nicolson格式，并分析其在网格依赖性方面的行为，解释其可能损失二阶精度的原因。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于BDF的高阶有限差分格式能否在时间与空间上均实现无条件二阶收敛，且不依赖于时间步长与空间步长之比？
• RQ2 所提出的基于BDF的格式的稳定性行为如何？能否为其中任意一种格式证明无条件稳定性？
• RQ3 为何在此背景下Crank-Nicolson格式有时表现出一阶收敛而非二阶？其表现如何依赖于网格参数？
• RQ4 当 $v_{xx}$ 有界但不连续时，这些格式表现如何？能否在这些情况下保持精度？
• RQ5 所提出的格式在美式期权定价这一关键金融应用场景中，其适用性和验证程度如何？

主要发现

• 证明了基于二阶BDF的有限差分格式对障碍问题具有无条件稳定性，这是文献中的一项新结果。
• 数值实验验证了在时间与空间方向上均实现无条件二阶收敛，且不依赖于时间步长与空间步长之比。
• 严格推导出 $L^2$ 误差估计，其阶数为 $1/2$，为收敛速率提供了理论界。
• 表明Crank-Nicolson格式的收敛阶会因网格参数的选择而从二阶降为一阶，解释了其性能不一致的原因。
• 在系数为时间无关的情况下，建立了障碍方程与哈密顿-雅可比-贝尔曼方程之间的等价关系，将该问题与最优控制理论联系起来。
• 所提出的格式成功应用于美式期权定价问题，展示了其在实际金融场景中的实用性和鲁棒性。