[论文解读] High-order finite elements on pyramids: approximation spaces, unisolvency and exactness

Nilima Nigam, Joel Phillips|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2006

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 26被引用 4

一句话总结

本论文提出了一类基于有理基函数的高阶有限元方法，适用于金字塔形网格，确保在 $H^1$、$H(\operatorname{curl})$、$H(\operatorname{div})$ 和 $L^2$ 空间中满足唯一可解性、协调性与精确性。其主要贡献在于构建了一种满足相容性、高阶逼近性以及交换图性质的方案，从而实现在混合四面体-六面体-金字塔形网格上的稳定、协调的有限元方法。

ABSTRACT

We present a family of high-order finite element approximation spaces on a pyramid, and associated unisolvent degrees of freedom. These spaces consist of rational basis functions. We establish conforming, exactness and polynomial approximation properties.

研究动机与目标

• 开发适用于混合四面体-六面体网格中金字塔形单元的高阶协调有限元。
• 通过在共享面和边上匹配自由度，确保与标准四面体和六面体有限元的相容性。
• 建立 $H^1$、$H(\operatorname{curl})$、$H(\operatorname{div})$ 和 $L^2$ 空间中逼近空间的唯一可解性与精确性。
• 满足交换图性质，保持离散设置下 de Rham 复形结构。
• 为需要避免悬挂节点的复杂三维几何结构，提供稳定且高阶的有限元框架。

提出的方法

• 通过从无限参考金字塔 $\Omega_\infty$ 到有限金字塔的有理变换，构造逼近空间 $\mathcal{U}^{(s),k}(\Omega)$，并使用有理基函数。
• 推导出所有多项式次数 $k$ 及所有 $s=0,1,2,3$（分别对应 $H^1$、$H(\operatorname{curl})$、$H(\operatorname{div})$ 和 $L^2$ 空间）的形状函数。
• 在无限金字塔上利用旋转不变结构，对边、面和体积的代表性形状函数进行分类与生成。
• 将这些函数通过逆拉回映射至有限金字塔，保持不变性并确保唯一可解性。
• 通过构造一组能唯一确定形状函数的自由度基 $\Sigma^{(s),k}$，验证唯一可解性。
• 通过确保插值算子 $\Pi^{(s)}$ 与微分算子 $\nabla$、$\nabla\times$、$\nabla\cdot$ 交换，建立交换图性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在金字塔形单元上构造出与标准四面体和六面体有限元自由度匹配的高阶协调有限元？
• RQ2 所提出的有理基函数是否能确保所有相关 Sobolev 空间的唯一可解性与精确性？
• RQ3 在金字塔形单元上，de Rham 复形的离散设置中是否保持了交换图性质？
• RQ4 逼近空间能否实现高阶多项式完备性，即包含任意次数 $p$ 的所有多项式？
• RQ5 该构造在包含四面体、六面体和金字塔的混合网格中是否稳定且兼容？

主要发现

• 所提出的有限元空间 $\mathcal{U}^{(s),k}(\Omega)$ 在 $s=0,1,2,3$ 时具有唯一可解性与协调性，确保离散问题的唯一可解性。
• 逼近空间包含所有次数为 $k$ 的多项式，满足高阶逼近性质 P2。
• 在面和边上的自由度与标准四面体和六面体单元一致，确保了相容性（P1）。
• 交换图性质（2）得到满足，保持了离散设置下 de Rham 复形结构。
• 形状函数通过从无限金字塔导出的有理基函数显式构造，实现了对矢量场与标量场的精确表示。
• 该方法推广了已知的一阶单元（如 Whitney 单元），并将其扩展至任意阶 $k$。