[论文解读] High Order Implicit-Explicit General Linear Methods with Optimized Stability Regions

Hong Zhang, Adrian Sandu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 20被引用 3

一句话总结

该论文提出高阶隐-显一般线性方法（IMEX-GLMs），特别是四阶和五阶DIMSIM格式，用于高精度、高效率地求解刚性偏微分方程。通过优化稳定区域并利用高阶段阶数，该方法避免了传统IMEX Runge-Kutta方法中常见的阶数降阶问题，从而支持更大的时间步长，并在多尺度问题（如对流-扩散和可压缩流）中表现出优越性能。

ABSTRACT

In the numerical solution of partial differential equations using a method-of-lines approach, the availability of high order spatial discretization schemes motivates the development of sophisticated high order time integration methods. For multiphysics problems with both stiff and non-stiff terms implicit-explicit (IMEX) time stepping methods attempt to combine the lower cost advantage of explicit schemes with the favorable stability properties of implicit schemes. Existing high order IMEX Runge Kutta or linear multistep methods, however, suffer from accuracy or stability reduction. This work shows that IMEX general linear methods (GLMs) are competitive alternatives to classic IMEX schemes for large problems arising in practice. High order IMEX-GLMs are constructed in the framework developed by the authors [34]. The stability regions of the new schemes are optimized numerically. The resulting IMEX-GLMs have similar stability properties as IMEX Runge-Kutta methods, but they do not suffer from order reduction, and are superior in terms of accuracy and efficiency. Numerical experiments with two and three dimensional test problems illustrate the potential of the new schemes to speed up complex applications.

研究动机与目标

• 解决现代PDE求解器中高阶空间离散化与高阶时间积分方法相匹配的需求。
• 克服现有IMEX Runge-Kutta和线性多步法在刚性问题或复杂边界条件下出现的阶数降阶问题。
• 开发保持全阶精度、并具备改进稳定性和效率的高阶IMEX一般线性方法（IMEX-GLMs）。
• 通过数值优化方法改善新格式的稳定区域，确保其在刚性系统中的鲁棒性。
• 在大规模真实应用场景中，证明所提方法相对于标准IMEX-RK格式的优越性。

提出的方法

• 基于DIMSIM（对角隐式多阶段积分法）框架构建四阶和五阶IMEX-GLMs，该框架统一了Runge-Kutta和线性多步法。
• 采用L-稳定的隐式部分，并优化显式部分以最大化受限稳定区域，尤其覆盖刚性特征值聚集的虚轴区域。
• 应用数值优化技术以调整稳定区域，提升在刚性问题中的鲁棒性，特别是针对虚轴附近存在特征值的情况。
• 确保高阶段阶数以避免阶数降阶，这是IMEX-RK方法在处理刚性或复杂边值问题时的关键缺陷。
• 在守恒律方法框架内实现这些格式，将其应用于由有限差分法和间断伽辽金法空间半离散化得到的常微分方程系统。
• 通过二维和三维问题的数值实验验证方法性能，包括Allen-Cahn方程、Burgers方程和可压缩Euler方程，比较其精度、稳定性与计算成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建高阶IMEX-GLMs以避免在刚性系统中出现阶数降阶，特别是在传统IMEX-RK方法失效的情况下？
• RQ2 优化后的IMEX-GLMs在具有刚性分量和复杂特征值分布的问题中，其稳定性特性与IMEX-RK方法相比如何？
• RQ3 新IMEX-GLMs在采用高阶空间离散化的大型模拟中，能在多大程度上提升精度和效率？
• RQ4 IMEX-GLMs的稳定区域能否有效优化以覆盖复平面的关键区域（如虚轴），从而提升在刚性问题上的性能？
• RQ5 与成熟的IMEX-RK方法相比，新格式在真实世界问题（如三维可压缩流和二维对流-扩散系统）中的实际表现如何？

主要发现

• 所提出的四阶和五阶IMEX-DIMSIM格式即使在刚性问题或复杂边界条件下也未出现阶数降阶，而IMEX-RK方法则存在此问题。
• IMEX-DIMSIM方法与IMEX-RK方法具有相近的最大稳定时间步长，但在广泛的时间步长范围内均保持全阶精度。
• 在包括上升气泡和Allen-Cahn方程在内的二维和三维测试问题中，IMEX-DIMSIM在工作-精度图中优于IMEX-RK方法，表现出更高的效率。
• 在三维可压缩Euler问题中，IMEX-DIMSIM4方法在约10⁻⁷误差水平达到工作-精度平台，而IMEX-RK4在大时间步长下出现阶数降阶且误差更高。
• 在三维上升气泡测试中，IMEX-DIMSIM4与IMEX-RK4的最大稳定时间步长均约为1.0秒，证实了二者具有相近的稳定性特性。
• IMEX-DIMSIM的稳定区域经优化后覆盖了虚轴的较大区域，这对特征值聚集于该区域的问题至关重要，二维上升气泡案例的特征值图已验证此结论。