[论文解读] High-order implicit palindromic discontinuous Galerkin method for kinetic-relaxation approximation

David Coulette, Emmanuel Franck+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2018

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 51被引用 24

一句话总结

本论文提出一种基于回文时间积分格式的高阶、隐式、无矩阵离散伽辽金方法，通过动力学-松弛近似求解双曲守恒律。通过将隐式 DG 求解器与刚性精确、时间对称的组合方法相结合，该方法在保持无条件稳定性和计算高效性的同时，实现了空间和时间上的任意阶精度，即使在松弛时间 τ 趋近于零的刚性极限下亦然。

ABSTRACT

We construct a high order discontinuous Galerkin method for solving general hyperbolic systems of conservation laws. The method is CFL-less, matrix-free, has the complexity of an explicit scheme and can be of arbitrary order in space and time. The construction is based on: (a) the representation of the system of conservation laws by a kinetic vectorial representation with a stiff relaxation term; (b) a matrix-free, CFL-less implicit discontinuous Galerkin transport solver; and (c) a stiffly accurate composition method for time integration. The method is validated on several one-dimensional test cases. It is then applied on two-dimensional and three-dimensional test cases: flow past a cylinder, magnetohydrodynamics and multifluid sedimentation.

研究动机与目标

• 解决具有多重时间尺度的双曲守恒律问题，特别是当显式格式受 CFL 条件限制时。
• 克服刚性松弛系统中常见的一阶分裂格式所导致的数值扩散与阶数降低问题。
• 开发一种高阶、无条件稳定的时间积分方法，确保在 τ → 0 极限下仍保持精度（渐近保持性质）。
• 实现无矩阵、低存储的算法实现，计算复杂度与显式格式相当，从而支持高效的大规模模拟。
• 将该方法扩展至复杂几何与多维问题，包括 MHD 和多相流问题，同时保持高阶精度。

提出的方法

• 通过带刚性松弛源项（以小松弛时间 τ 参数化）的向量型动力学公式表示原始双曲守恒律系统。
• 应用无矩阵、隐式的不连续伽辽金方法求解输运方程，利用所得线性系统的三角结构实现低成本显式求解。
• 采用回文式（时间对称）组合方法进行时间积分，确保在 τ → 0 的刚性极限下仍保持二阶精度。
• 通过低阶回文格式的组合构造更高阶时间积分器（最高六阶），同时保持稳定性和精度。
• 通过利用输运方程的可逆性，确保时间积分器为刚性精确，并保持渐近保持（AP）性质。
• 采用域分解方法实现并行化，高效处理局部线性求解与全局通信。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种高阶、隐式、无矩阵的 DG 格式，使其在刚性双曲系统下仍保持无条件稳定与计算高效？
• RQ2 如何利用回文时间积分方法在松弛时间 τ 趋近于零的极限下保持二阶精度？
• RQ3 该方法在 τ → 0 时对渐近保持性质的保持程度如何，特别是在多维与非线性系统中？
• RQ4 该方法能否在保持低存储与计算成本的同时，实现空间与时间上的任意阶精度？
• RQ5 该方法在复杂真实问题（如绕圆柱流、MHD 与多相流沉积）中的表现如何？

主要发现

• 通过回文组合方法，该方法在空间和时间上均实现了任意阶精度，测试案例中时间方向的四阶与六阶收敛性已得到验证。
• 隐式 DG 求解器为无矩阵形式，且由于线性系统的三角结构，其计算复杂度与显式格式相当，从而支持高效的并行实现。
• 该格式保持无条件稳定（无 CFL 限制），且在 τ → 0 时仍保持二阶精度，证实了其渐近保持性质。
• 数值结果表明，该方法在光滑与间断解的一维问题上表现稳健，数值扩散极小，且对激波具有高分辨率。
• 该方法成功模拟了二维与三维复杂流动，包括 MHD 与多相流 Rayleigh-Taylor 不稳定性，表现出高精度与稳定性。
• 该方法在无滑移与厚边界条件下的绕圆柱流问题中均得到验证，展示了其在复杂几何与边界处理方面的强大能力。