[论文解读] High-order Kirchhoff problems in bounded and unbounded domains

Mohamed Karim Hamdani, Abdellaziz Harrabi|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用 4

一句话总结

该论文在有界与无界区域（包括ℝᴺ上的零质量情形）中，建立了涉及m-多调和算子的高阶Kirchhoff问题存在无穷多组解。通过引入一个类似于第一特征值的新型量λₘ，并在W₀ʳᵐ(Ω)中使用Schauder基，作者在无需控制f在零附近行为的前提下，验证了对称山路几何结构，即使在f在无穷远处仅满足弱增长条件时亦成立，从而将变分方法推广至退化与无界情形。

ABSTRACT

Consider the following $m-$polyharmonic Kirchhoff problem: \begin{eqnarray} \label{ea} \begin{cases} M\left(\int_Ø|D_r u|^{m} +a|u|^m ight)[Δ^r_m u +a|u|^{m-2}u]= K(x)f(u) &\mbox{in}\quad Ω, \\ u=\left(\frac{\partial}{\partial ν} ight)^k u=0, \quad &\mbox{on}\quad \partialΩ, \quad k=1, 2,..... , r-1, \end{cases} \end{eqnarray} where $r \in \N^*$, $m >1$, $N\geq rm+1$, $a\geq 0$, $K\in L^{\infty}(Ø)$ is a positive weight function, $M \in C([0,+\infty))$ and $f\in C(\mathbb{R})$ which will be specified later. We will study problem \eqref{ea} in the following different type of domains: \begin{enumerate} \item $a=0$ and $K\in L^{\infty}(Ø)$ is a positive weight function if $Ω$ is a smooth bounded domain of $\R^N$. \item $a>0$ and $K\in L^{\infty}(Ø)\cap L^{p}(Ø)$, $p \geq 1$ if $Ω$ is an unbounded smooth domain. \item $Ø=\R^N$ and $a=0$ (which called the $mγ$-zero mass case). \end{enumerate} We prove the existence of infinitely many solutions of \eqref{ea} for some odd functions $f$ in $u$ satisfying subcritical growth conditions at infinity which are weaker than the analogue of the Ambrosetti-Rabinowitz condition and the standard subcritical polynomial growth. The new aspect consists in employing the Schauder basis of $W_0^{r,m}(Ø)$ to verify the geometry of the symmetric mountain pass theorem without any control on $f$ near $0$ if $Ω$ is a bounded domain and under a suitable condition at $0$ if $Ω$ is a unbounded domain allowing only to derive the variational setting of \eqref{ea}. Moreover, we introduce a positive quantity $λ_M$ similar to the first eigenvalue of the $m$-polyharmonic operator to find a mountain pass solution.

研究动机与目标

• 在有界与无界区域中，建立涉及m-多调和算子的高阶Kirchhoff问题存在无穷多组解。
• 将变分方法推广至M(τ)在τ=0处可能为零的退化Kirchhoff问题，克服非强制性缺失的问题。
• 分析零质量情形（a=0, Ω=ℝᴺ），此时标准Sobolev嵌入不成立，需引入新的函数空间设定。
• 在f满足弱增长条件的前提下，为非退化与退化m-多调和Kirchhoff问题建立变分框架。
• 引入一个类似于m-多调和算子第一特征值的新量λₘ，用于构造山路解。

提出的方法

• 通过m-Laplacian的迭代应用定义m-多调和算子Δʳₘ，并区分奇数与偶数r的情形。
• 定义空间E = W₀ʳᵐ(Ω)，其范数||u||ᵐ = ∫(|Dʳu|ᵐ + a|u|ᵐ)，其中Dʳu为r阶微分算子。
• 将λₘ定义为u ∈ E ∓ {0}时||u||ᵐ / ∫|u|ᵐᵞ的下确界，其作用类似于第一特征值，用于控制能量泛函。
• 利用W₀ʳᵐ(Ω)的Schauder基，在无需控制f在零附近行为的前提下，验证对称山路几何结构。
• 在M满足假设(M₁)–(M₃)且f满足(H₂)、(H₃′)的前提下，应用对称山路定理，并根据m ≥ 2或1 < m < 2分别采用(Palais-Smale)或(Cerami)条件。
• 通过新引入的λₘ与f的弱增长条件，证明I(u) ≥ α > 0当||u|| = ρ，且I(tφ) < 0对大t成立，从而建立山路几何结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界区域中，是否可在无需控制f在零附近行为的前提下，将对称山路定理应用于高阶Kirchhoff问题？
• RQ2 如何将变分框架推广至M(τ)在τ=0处可能为零的退化Kirchhoff问题？
• RQ3 新引入的量λₘ在构造m-多调和Kirchhoff问题山路解中起何作用？
• RQ4 Schauder基在W₀ʳᵐ(Ω)中如何用于在不控制f于零附近时验证对称山路几何结构？
• RQ5 是否可通过新的函数空间设定与特征值类量λₘ，对零质量情形（a=0, Ω=ℝᴺ）进行变分处理？

主要发现

• 该论文在f满足弱增长条件的前提下，证明了在有界与无界区域中m-多调和Kirchhoff问题存在无穷多组解。
• 当Ω有界时，由于在W₀ʳᵐ(Ω)中使用了Schauder基，该存在性结果无需控制f在零附近的行为。
• 在无界区域中，需对f在零处施加适当条件，但该方法避免了如Ambrosetti-Rabinowitz条件等强假设。
• 引入的λₘ（类似于m-多调和算子第一特征值的量）使得山路解的构造成为可能。
• 通过新能量估计验证了山路几何结构：I(u) ≥ α > 0当||u|| = ρ，且I(tφ) < 0对大t成立，其中使用了λₘ与f的弱增长性。
• 在假设(M₁)–(M₃)下，满足Palais-Smale或Cerami条件，从而保证了能量泛函存在临界点。