[论文解读] High-order numerical method for two-dimensional Riesz space fractional advection-dispersion equation

A. Borhanifar, Maria Alessandra Ragusa+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 27被引用 4

一句话总结

本文提出了一种基于分数阶中心差分和交替方向隐式（ADI）格式的四阶精度有限差分方法，用于求解二维Riesz空间分数阶对流-弥散方程。该方法将四阶空间离散化与二阶Crank-Nicolson时间格式相结合，实现了空间四阶收敛和时间二阶收敛，通过数值例子验证了其高精度和稳定性。

ABSTRACT

In this paper, by combining of fractional centered difference approach with alternating direction implicit method, we introduce a mixed difference method for solving two-dimensional Riesz space fractional advection-dispersion equation. The proposed method is a fourth order centered difference operator in spatial directions and second order Crank-Nicolson method in temporal direction. By reviewing the consistency and stability of the method, the convergence of the proposed method is achieved. Several numerical examples are considered aiming to demonstrate the validity and applicability of the proposed technique.

研究动机与目标

• 开发一种求解二维Riesz空间分数阶对流-弥散方程（RSFADE）的高阶数值方法，该方程因分数阶导数的非局部性和低正则性而具有挑战性。
• 通过将分数阶中心差分与交替方向隐式（ADI）方法相结合，解决二维RSFADE高效且精确数值格式稀缺的问题。
• 在确保稳定性和收敛性的前提下，实现四阶空间精度和二阶时间精度，并通过严格的理论分析加以证明。
• 通过包含已知精确解的全面数值实验，验证该方法的性能和收敛阶。

提出的方法

• 该方法在x方向和y方向上均采用四阶分数阶中心差分近似Riesz空间分数阶导数。
• 时间方向采用Crank-Nicolson方法进行离散，确保二阶精度和无条件稳定性。
• 采用交替方向隐式（ADI）技术将二维问题分解为一维子步骤，提升计算效率。
• 通过改进的Crank-Nicolson ADI格式构建数值格式，保持高阶精度，并支持对所得线性系统的高效求解。
• 利用von Neumann稳定性分析和截断误差估计分析稳定性和相容性，基于Lax等价定理证明收敛性。
• 该方法采用均匀的空间和时间网格，根据问题规模选择迭代或直接方法求解所得线性系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二维Riesz空间分数阶对流-弥散方程开发一种高阶数值格式，同时保持高阶空间精度和时间精度？
• RQ2 将分数阶中心差分与ADI-Crank-Nicolson格式结合，是否能获得针对二维RSFADE的稳定且收敛的方法？
• RQ3 所提出方法在空间和时间方向上的实际收敛速率是多少？是否与理论阶数一致？
• RQ4 在已知精确解的情况下，该方法在求解二维RSFADE时的效率和精度如何，特别是在不同网格细化条件下的表现？

主要发现

• 数值实验表明，该方法在空间方向实现四阶收敛，随着空间步长减小，收敛率约为3.9–3.96。
• 在时间方向上表现出二阶收敛，当时间步长细化时，估计的收敛率为1.92–1.96，与理论阶数一致。
• 最大绝对误差随网格细化显著降低：例如，在例6.2中，当 $ h_x = h_y = 0.00625\theta $ 时，误差降至 $ 8.13 \times 10^{-9} $。
• 该方法在不同参数设置下（包括可变分数阶阶数和弥散系数）均保持稳定性和准确性，表现出强鲁棒性。
• 计算效率通过低误差水平和一致的收敛行为得到验证，即使在复杂源项和非光滑初值条件下也表现良好。
• 理论分析证实了格式的一致性和无条件稳定性，Lax等价定理确保了数值格式的收敛性。