[论文解读] High-order numerical methods for the Riesz space fractional advection-dispersion equations

Libo Feng, Pinghui Zhuang+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2020

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 30被引用 32

一句话总结

作者使用加权平移Grünwald差分算子开发高阶有限差分格式用于Riesz空间分数对流-扩散方程，证明无条件稳定性与二阶收敛性，并通过Richardson外推将精度提升到四阶；通过数值实例进行验证。

ABSTRACT

In this paper, we propose high-order numerical methods for the Riesz space fractional advection-dispersion equations (RSFADE) on a {f}inite domain. The RSFADE is obtained from the standard advection-dispersion equation by replacing the first-order and second-order space derivative with the Riesz fractional derivatives of order $α\in(0,1)$ and $β\in(1,2]$, respectively. Firstly, we utilize the weighted and shifted Grünwald difference operators to approximate the Riesz fractional derivative and present the {f}inite difference method for the RSFADE. Specifically, we discuss the Crank-Nicolson scheme and solve it in matrix form. Secondly, we prove that the scheme is unconditionally stable and convergent with the accuracy of $\mathcal {O}(τ^2+h^2)$. Thirdly, we use the Richardson extrapolation method (REM) to improve the convergence order which can be $\mathcal {O}(τ^4+h^4)$. Finally, some numerical examples are given to show the effectiveness of the numerical method, and the results are excellent with the theoretical analysis.

研究动机与目标

• 在有限区间上为Riesz空间分数对流-扩散方程的准确数值解提供动力.
• 基于加权平移Grünwald差分算子开发Crank-Nicolson有限差分格式。
• 证明该格式的无条件稳定性与收敛性。
• 通过Richardson外推提升收敛阶数。
• 通过含RFDE/RFADE的数值试验展示方法的效率与准确性。

提出的方法

• 使用加权平移Grünwald差分（WSGD）算子对Riesz分数阶导数进行近似。
• 用Crank-Nicolson格式对时间离散化，得到矩阵形式(I+D)U^n = (I−D)U^{n-1}。
• 证明得到的算子D严格对角占优，且(I+D)可逆。
• 证明该格式的无条件稳定性与收敛性，精度为O(τ^2 + h^2)。
• 应用Richardson外推达到O(τ^4 + h^4)的精度。
• 以关于Grünwald权重和WSGD性质的引理来支持理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶有限差分格式在有限区间上是否能准确近似RSFADE中的Riesz空间分数阶导数？
• RQ2 基于Crank-Nicolson的格式是否无条件稳定且收敛，且其收敛性是否可通过Richardson外推提升？
• RQ3 在对α和β取不同值的RFDE/RFADE数值实验中，实际的收敛速率如何？
• RQ4 在使用内部点离散化及边界条件的矩阵形式下，该方法的性能如何？

主要发现

• 所提出的CN–WSGD格式实现了无条件稳定性。
• 该格式以O(τ^2 + h^2)的精度收敛。
• Richardson外推将收敛提升到O(τ^4 + h^4)。
• 数值示例证实二阶收敛并且REM在实现四阶精度方面有效。
• 离散算子D严格对角占优且对称正定，确保可逆性与稳定性。
• 在RFDE与RFADE情形下，对于不同的α和β值，结果与理论分析一致。