[论文解读] High-order residual distribution scheme for the time-dependent Euler equations of fluid dynamics

Rémi Abgrall, Paola Bacigaluppi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2018

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 31被引用 44

一句话总结

本文提出了一种用于多维时间依赖欧拉方程的高阶显式残差分布格式，结合延迟校正时间积分与伯恩斯坦多项式形状函数，实现了空间和时间上的任意阶精度。该方法通过确保时间更新矩阵为对角且可逆，避免求解大型线性系统，从而实现高效、稳定且高阶精度的可压缩流体模拟，尤其适用于强间断问题，在基准问题上验证了最优收敛率。

ABSTRACT

In the present work, a high order finite element type residual distribution scheme is designed in the framework of multidimensional compressible Euler equations of gas dynamics. The strengths of the proposed approximation rely on the generic spatial discretization of the model equations using a continuous finite element type approximation technique, while avoiding the solution of a large linear system with a sparse mass matrix which would come along with any standard ODE solver in a classical finite element approach to advance the solution in time. In this work, we propose a new Residual Distribution (RD) scheme, which provides an arbitrary explicit high order approximation of the smooth solutions of the Euler equations both in space and time. The design of the scheme via the coupling of the RD formulation \cite{mario,abg} with a Deferred Correction (DeC) type method \cite{shu-dec,Minion2}, allows to have the matrix associated to the update in time, which needs to be inverted, to be diagonal. The use of Bernstein polynomials as shape functions, guarantees that this diagonal matrix is invertible and ensures strict positivity of the resulting diagonal matrix coefficients. This work is the extension of \cite{enumath,Abgrall2017} to multidimensional systems. We have assessed our method on several challenging benchmark problems for one- and two-dimensional Euler equations and the scheme has proven to be robust and to achieve the theoretically predicted high order of accuracy on smooth solutions.

研究动机与目标

• 为多维时间依赖双曲系统开发一种高阶、显式的有限元型残差分布格式。
• 通过实现对角时间更新矩阵，克服标准有限元方法中质量矩阵求逆的计算瓶颈。
• 在不使用隐式求解或大型线性系统的情况下，实现空间和时间上的任意阶精度。
• 通过使用伯恩斯坦多项式作为形状函数，确保时间更新的稳定性和正性。
• 在具有挑战性的流体动力学基准问题中，验证该格式在光滑解和不连续解上的鲁棒性与最优收敛性。

提出的方法

• 采用全局连续的分段多项式逼近，以伯恩斯坦多项式作为形状函数，构建空间离散化。
• 应用残差分布框架，将残差分配至自由度，同时保持守恒性和紧凑带宽特性。
• 通过延迟校正（DeC）方法进行时间推进，使得时间更新矩阵为对角且可逆。
• 利用伯恩斯坦多项式的性质，确保对角系数的严格正性。
• 将总残差构建成子三角形上的加权和，以实现通量的连续高阶重构。
• 通过一致耦合空间残差分布与时间积分，保持空间和时间的高阶精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为多维双曲系统构建一种高阶残差分布格式，避免求解具有稀疏质量矩阵的大规模线性系统？
• RQ2 在高阶有限元型残差分布格式中，如何实现显式时间积分而不牺牲稳定性或精度？
• RQ3 伯恩斯坦多项式在残差分布格式中如何实现对角且可逆的时间更新矩阵？
• RQ4 所提出的格式能否在光滑解上保持最优收敛率，同时在强间断问题中保持鲁棒性？
• RQ5 该格式在标准基准问题（如Sod激波管和Mach 3台阶问题）上的表现如何？

主要发现

• 所提格式在空间和时间上均实现了最优高阶精度，光滑解上的观测收敛率与理论预测一致。
• 伯恩斯坦多项式的使用确保了时间更新矩阵为对角且严格正定，从而支持高效的显式时间推进。
• 即使在强激波存在的情况下，该格式仍保持鲁棒性和稳定性，如在双Mach反射和Mach 3台阶问题中成功解析了复杂激波结构。
• 在粗网格上，四阶B3格式显著优于二阶B1格式，能够更准确捕捉复杂激波结构（如三重点）。
• 随着阶数提高，解的质量明显改善，尤其在细网格上，高阶格式能以更高的锐度解析激波和接触间断。