[论文解读] High order schemes based on operator splitting and deferred corrections for stiff time dependent PDEs

Max Duarte, Matthew Emmett|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2014

Numerical methods for differential equations参考文献 30被引用 3

一句话总结

该论文通过结合算子分裂与迭代延迟校正，提出了一种用于刚性时间依赖PDE的高阶时间积分方法。它使用低阶分裂求解器在配点处生成初始近似解，随后通过基于求积的隐式Runge-Kutta格式迭代校正，以实现高阶精度，同时保持稳定性和效率。

ABSTRACT

We consider quadrature formulas of high order in time based on Radau-type, L-stable implicit Runge-Kutta schemes to solve time dependent stiff PDEs. Instead of solving a large nonlinear system of equations, we develop a method that performs iterative deferred corrections to compute the solution at the collocation nodes of the quadrature formulas. The numerical stability is guaranteed by a dedicated operator splitting technique that efficiently handles the stiffness of the PDEs and provides initial and intermediate solutions to the iterative scheme. In this way the low order approximations computed by a tailored splitting solver of low algorithmic complexity are iteratively corrected to obtain a high order solution based on a quadrature formula. The mathematical analysis of the numerical errors and local order of the method is carried out in a finite dimensional framework for a general semi-discrete problem, and a time-stepping strategy is conceived to control numerical errors related to the time integration. Numerical evidence confirms the theoretical findings and assesses the performance of the method in the case of a stiff reaction-diffusion equation.

研究动机与目标

• 开发一种用于刚性PDE的高阶时间积分格式，避免直接求解大规模非线性系统。
• 将L-稳定Radau型隐式Runge-Kutta格式的稳定性与算子分裂的效率相结合。
• 通过在低阶分裂近似上应用迭代延迟校正实现高阶精度。
• 在刚性半离散PDE的时间积分中确保数值稳定性和误差控制。
• 提供一种适用于大规模PDE模拟的实用且低复杂度的高阶时间积分框架。

提出的方法

• 使用 $s$-阶段 $L$-稳定Radau型隐式Runge-Kutta格式定义时间积分的高阶求积公式。
• 采用专用的算子分裂求解器在每个时间步的 $s$ 个配点处计算低阶近似解，确保稳定性并避免刚性约束。
• 在每个配点处对低阶分裂解应用迭代延迟校正，以逼近高阶求积解。
• 依赖带有误差控制的时间推进策略，以管理迭代校正过程中的局部截断误差。
• 定义校正过程，使得谱积分算子 $S_{t_{i-1}}^{t_i}({oldsymbol{U}})$ 通过来自IRK格式的求积节点来近似积分。
• 将该方法重新解释为一种SDC（谱延迟校正）的变体，其中精细传播器被基于分裂的数值积分器所取代。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不求解大规模非线性系统的情况下，为刚性时间依赖PDE实现高阶精度？
• RQ2 如何将算子分裂与延迟校正结合，以在保持稳定性的同时实现高阶收敛？
• RQ3 在半离散刚性PDE背景下，迭代校正过程的局部阶精度和误差行为如何？
• RQ4 如何在该方法的时间推进策略中实现有效的误差控制？
• RQ5 与标准低阶分裂或完全耦合的隐式Runge-Kutta格式相比，该方法在精度和效率方面有多大优势？

主要发现

• 通过迭代校正低阶分裂解，该方法实现了高阶精度（$s$ 阶段下最高可达 $2s-1$ 阶）。
• 在刚性反应-扩散方程上的数值实验验证了理论精度阶，并展示了最优收敛速率。
• 迭代校正过程表现出超线性收敛速度，误差减少与理论分析一致。
• 带有误差控制的时间推进策略成功管理了局部截断误差，并在刚性问题中保持了稳定性。
• 该方法通过避免求解大规模非线性系统，保持了高效率，仅依赖低复杂度的分裂求解和迭代校正。
• 该方法在数学上等价于一种改进的SDC格式，其中精细传播器被基于分裂的积分器取代，从而实现了稳定的高阶时间积分。