[论文解读] High-order schemes for the Euler equations in cylindrical/spherical coordinates

Sheng Wang, Eric Johnsen|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2017

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 23被引用 8

一句话总结

本文提出了一种针对柱坐标和球坐标系中欧拉方程的新型高阶有限差分WENO格式，该格式同时实现了高阶精度与守恒性——这两个性质在以往难以兼顾。新方法通过收敛性研究以及激波管与Sedov点爆炸问题的验证，证明在仅含径向依赖的几何结构中，其在保持精度与守恒性方面优于现有方法。

ABSTRACT

We consider implementations of high-order finite difference Weighted Essentially Non-Oscillatory (WENO) schemes for the Euler equations in cylindrical and spherical coordinate systems with radial dependence only. The main concern of this work lies in ensuring both high-order accuracy and conservation. Three different spatial discretizations are assessed: one that is shown to be high-order accurate but not conservative, one conservative but not high-order accurate, and a new approach that is both high-order accurate and conservative. For cylindrical and spherical coordinates, we present convergence results for the advection equation and the Euler equations with an acoustics problem; we then use the Sod shock tube and the Sedov point-blast problems in cylindrical coordinates to verify our analysis and implementations.

研究动机与目标

• 为解决在柱坐标与球坐标系中高阶有限差分WENO格式求解欧拉方程时，长期存在的高阶精度与守恒性难以同时满足的挑战。
• 评估并比较三种空间离散化方法：一种精度高但不守恒，一种守恒但非高阶，以及一种新提出的可同时满足两项要求的方法。
• 在径向几何结构中，验证所提方法在光滑问题（对流、声学）与强激波主导流动（Sod激波管、Sedov点爆炸）中的性能表现。
• 为未来向间断伽辽金方法及扩散效应的拓展奠定基础，尤其适用于空化气泡动力学与坍缩过程的模拟。

提出的方法

• 在仅含径向依赖的柱/球坐标系中，以通量差分形式表述欧拉方程，并引入几何源项。
• 采用五阶精度的有限差分WENO格式，结合非线性权重，重构单元界面处的数值通量，确保对间断的高分辨率捕捉。
• 采用局部Lax-Friedrichs通量分裂方法计算数值通量，通过逐点特征值估计波速，以保证稳定性和精度。
• 采用四阶显式Runge-Kutta时间积分格式，实现时间方向的高阶精度。
• 提出一种新的空间离散化方法（方法三），通过仔细处理径向度量项，重构通量项，从而在保持高阶精度的同时实现守恒性。
• 采用平滑性指标与非线性权重，确保在激波附近具有本质非振荡行为，引入小参数 ε = 10⁻⁶ 以防止除零错误。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为柱坐标与球坐标系中的欧拉方程构建一种既守恒又具有高阶精度的高阶有限差分WENO格式？
• RQ2 在曲线坐标系中仅含径向流动的问题中，不同空间离散化方法在精度与守恒性方面的表现如何比较？
• RQ3 在光滑问题（如对流传热方程与声学方程）中，高阶WENO格式在柱坐标与球坐标系中的收敛行为如何？
• RQ4 所提方法在Sod激波管与Sedov点爆炸等基准问题中，对激波与间断的捕捉能力如何？
• RQ5 在强间断与几何源项存在的问题中，新方法是否能在不牺牲精度的前提下保持守恒性？

主要发现

• 所提方法三同时实现了高阶精度与守恒性，而其他两种方法无法同时满足这两项性质。
• 收敛性研究显示，新方法在光滑问题（包括对流传热方程与声学问题）中实现了最优五阶精度。
• Sod激波管问题验证表明，新方法能准确捕捉激波位置，并保持质量、动量与能量的守恒。
• Sedov点爆炸问题表明，新方法能正确再现自相似激波结构，并以极小误差保持总能量守恒。
• 研究结果表明，标准WENO格式在曲线坐标系中通常无法守恒物理量，除非特别修改，凸显了所提重构方法的必要性。
• 结果表明，该新方法适用于模拟涉及激波与界面的球对称或柱对称流场，如惯性约束聚变或空化气泡动力学。