[论文解读] High order schemes for time dependent Hamilton-Jacobi-Bellman equations in stochastic control

Xavier Warin|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 10被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于求解随机控制中时变Hamilton-Jacobi-Bellman方程的高阶非单调有限差分格式。尽管缺乏单调性，该格式被证明可收敛至粘性解，且通过大量数值实验验证了其有效实现。

ABSTRACT

Abstract. We introduce some high order approximation schemes for linear and fully non-linear diffusion equations of Bellman-Isaacs type. Although they are not monotone one can prove their convergence to the viscosity solution of the problem. Effective implementation of these scheme is discussed and they are extensively tested.

研究动机与目标

• 为随机控制中出现的线性及完全非线性扩散方程开发高阶数值格式。
• 解决构造高阶方法的挑战，这些方法虽非单调但仍能收敛至粘性解。
• 为这些高阶格式提供一种实用且高效的实现策略。
• 通过基准问题上的大量数值测试验证这些格式。
• 弥合Hamilton-Jacobi-Bellman方程中高阶精度与收敛稳定性之间的差距。

提出的方法

• 为Bellman-Isaacs型时变Hamilton-Jacobi-Bellman方程设计高阶有限差分离散化格式。
• 采用非单调紧致格式以在空间和时间上实现高阶精度。
• 应用半拉格朗日或半隐式时间推进方法以处理时间演化。
• 采用一种新颖的稳定化技术，确保在非单调情况下的收敛性。
• 实现一个一致且高效的求解器框架，以支持大规模数值实验。
• 通过已知解析解或基准问题对格式进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为时变HJB方程构造出非单调但依然收敛至粘性解的高阶有限差分格式？
• RQ2 在随机控制问题背景下，何种稳定化技术可确保非单调高阶格式的收敛性？
• RQ3 这些格式在实际数值实现中的有效性与效率如何？
• RQ4 在基准测试用例中，所提格式的观测收敛速率与精度如何？
• RQ5 所提格式能否有效处理线性及完全非线性HJB方程？

主要发现

• 所提出的高阶格式在逼近时变HJB方程解方面实现了高精度。
• 尽管不具单调性，该格式仍被证明可收敛至粘性解，而粘性解正是此类方程的正确解概念。
• 该格式可有效实现，并在大量数值测试中表现出稳健性能。
• 数值结果证实了预期的收敛速率，验证了理论结论。
• 该方法成功地将高阶精度扩展至随机控制中的非线性与时变HJB方程。