[论文解读] High Order Semi-Lagrangian Discontinuous Galerkin Method Coupled with Runge-Kutta Exponential Integrators for Nonlinear Vlasov Dynamics

Xiaofeng Cai, Sebastiano Boscarino+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 54被引用 5

一句话总结

本文提出了一种高阶半拉格朗日不连续伽辽金方法，结合无交换子的龙格-库塔指数积分器（SLDG-RKEI），用于非线性维拉斯夫动力学。通过利用指数积分器对非线性平流进行线性化，该方法在空间和时间上均实现了高阶精度，同时避开了CFL条件，从而支持大时间步长，并在维拉斯夫-泊松和导心维拉斯夫模型的模拟中保持了质量守恒和正性。

ABSTRACT

In this paper, we propose a semi-Lagrangian discontinuous Galerkin method coupled with Runge-Kutta exponential integrators (SLDG-RKEI) for nonlinear Vlasov dynamics. The commutator-free Runge-Kutta (RK) exponential integrators (EI) were proposed by Celledoni, et al. (FGCS, 2003). In the nonlinear transport setting, the RKEI can be used to decompose the evolution of the nonlinear transport into a composition of a sequence of linearized dynamics. The resulting linearized transport equations can be solved by the semi-Lagrangian (SL) discontinuous Galerkin (DG) method proposed in Cai, et al. (JSC, 2017). The proposed method can achieve high order spatial accuracy via the SLDG framework, and high order temporal accuracy via the RK EI. Due to the SL nature, the proposed SLDG-RKEI method is not subject to the CFL condition, thus they have the potential in using larger time-stepping sizes than those in the Eulerian approach. Inheriting advantages from the SLDG method, the proposed SLDG-RKEI schemes are mass conservative, positivity-preserving, have no dimensional splitting error, perform well in resolving complex solution structures, and can be evolved with adaptive time-stepping sizes. We show the performance of the SLDG-RKEI algorithm by classical test problems for the nonlinear Vlasov-Poisson system, as well as the Guiding center Vlasov model. Though that it is not our focus of this paper to explore the SLDG-RKEI scheme for nonlinear hyperbolic conservation laws that develop shocks, we show some preliminary results on schemes' performance on the Burgers' equation.

研究动机与目标

• 开发一种高阶数值格式，用于非线性维拉斯夫动力学，以克服欧拉方法的CFL稳定性限制。
• 将半拉格朗日不连续伽辽金（SLDG）框架与无交换子的龙格-库塔指数积分器（RKEI）相结合，以提高时间精度和稳定性。
• 在高维模拟中确保质量守恒、正性保持，并避免维度分裂误差。
• 实现自适应时间步长，并在动能等离子体模型中稳健解析复杂解结构。
• 在维拉斯夫-泊松和导心维拉斯夫系统的经典测试问题上展示该方法的性能，初步结果包括伯吉斯方程的验证。

提出的方法

• 该方法采用无交换子的龙格-库塔指数积分器（RKEI）将非线性平流分解为一系列线性化动力学。
• 每个线性化平流方程通过半拉格朗日不连续伽辽金（SLDG）方法求解，以确保高阶空间精度和质量守恒。
• 通过时间反向追踪特征线以确定上游节点，并采用二次曲线四边形单元对上游单元边界进行重构。
• 应用裁剪算法以识别上游单元的内部和外部线段，从而实现线积分的精确计算。
• 在由局部变换导出的参数坐标系中，使用三点高斯积分法计算上游边界的线积分。
• 该格式支持自适应时间步长，且设计上避免了维度分裂误差，确保对复杂相空间结构的高分辨率追踪。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶半拉格朗日不连续伽辽金方法与龙格-库塔指数积分器耦合，是否能在非线性维拉斯夫动力学中同时实现高阶时间与空间精度？
• RQ2 SLDG-RKEI方法是否能消除CFL条件，从而在不牺牲稳定性的情况下实现更大的时间步长？
• RQ3 该方法在维拉斯夫-泊松和导心维拉斯夫模型的长时间模拟中，对质量与正性的保持程度如何？
• RQ4 该方法在解析复杂相空间结构（如相空间涡旋和束-等离子体不稳定性）方面表现如何？
• RQ5 SLDG-RKEI框架是否可扩展至具有激波的双曲守恒律问题，如伯吉斯方程的初步结果所示？

主要发现

• SLDG-RKEI方法在空间和时间上均实现了高阶精度，空间精度由不连续伽辽金框架决定，时间精度由RKEI格式决定。
• 由于采用半拉格朗日格式，该方法在CFL条件上具有无条件稳定性，从而支持远大于标准欧拉方法的时间步长。
• 该格式能够保持分布函数的质量与正性，这对动能系统长时间模拟至关重要。
• 该方法能有效解析复杂解结构，如相空间涡旋和束-等离子体不稳定性，且无维度分裂误差。
• 伯吉斯方程的初步结果显示，该格式可处理激波特性的形成，尽管这并非本文的重点。
• 采用二次曲线四边形单元进行上游重构，提升了特征线追踪的几何精度，从而增强了整体格式的鲁棒性。