[论文解读] High-order short-time expansions for ATM option prices under the CGMY model

José E. Figueroa‐López, Ruoting Gong+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用 14

一句话总结

本文推导了在CGMY Lévy模型及其带有布朗运动分量的扩展模型下，平价期权（ATM）价格的高阶短时渐近展开式。通过测度变换稳定过程，并利用基于尾部概率的积分表示，作者获得了二阶与三阶近似结果，表明在跳扩散模型下，二阶项的尺度为 $ d_2 t^{(3-Y)/2} $，其中 $ d_2 $ 仅依赖于跳跃强度 $ C $ 和尾部厚重程度 $ Y $，显著优于一阶近似的结果。

ABSTRACT

The short-time asymptotic behavior of option prices for a variety of models with jumps has received much attention in recent years. In the present work, a novel second-order approximation for ATM option prices under the CGMY Lévy model is derived, and then extended to a model with an additional independent Brownian component. Our results shed light on the connection between both the volatility of the continuous component and the jump parameters and the behavior of ATM option prices near expiration. In case of an additional Brownian component, the second-order term, in time-t, is of the form $ d_{2} t^{(3-Y)/2}$, with the coefficient $d_{2}$ depending only on the overall jump intensity parameter C and the tail-heaviness parameter Y. This extends the known result that the leading term is $(σ/\sqrt{2π})t^{1/2}$, where $σ$ is the volatility of the continuous component. In contrast, under a pure-jump CGMY model, the dependence on the two parameters C and Y is already reflected in the leading term, which is of the form $d_{1} t^{1/Y}$. Information on the relative frequency of negative and positive jumps appears only in the second-order term, which is shown to be of the form $d_{2} t$ and whose order of decay turns out to be independent of Y. The third-order asymptotic behavior of the option prices as well as the asymptotic behavior of the corresponding Black-Scholes implied volatilities are also addressed. Our numerical results show that in most cases the second-order term significantly outperform the first-order approximation.

研究动机与目标

• 推导在CGMY Lévy模型下平价期权价格的高阶短时渐近展开，该模型通过引入跳跃行为对Black-Scholes模型进行推广。
• 将分析扩展至包含独立布朗运动分量的模型，以同时捕捉扩散与无限活动跳跃的动态。
• 提升到期日附近期权价格近似方法的精度，因为一阶方法在此区域表现不佳。
• 阐明连续波动率与跳跃参数（C, Y）在塑造平价期权价格短时行为中的独立作用。
• 分析由高阶展开式导出的Black-Scholes隐含波动率的渐近行为。

提出的方法

• 该方法基于在股票测度下对数收益尾部概率的期权价格积分表示。
• 采用概率测度变换，将过程转化为稳定Lévy过程，从而简化对小时间行为的分析。
• 该方法利用CGMY过程在测度变换下的稳定性，推导展开式中的高阶项。
• 作者使用矩生成函数及Lévy测度的渐近分析，计算展开式中的系数，特别是二阶与三阶项的系数。
• 该方法可推广至其他在适当测度变换下保持稳定的Lévy过程，超越CGMY模型的适用范围。
• 通过数值验证比较了一阶与二阶近似方法的性能，结果表明二阶项显著提升了精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 CGMY模型中的跳跃参数 $ C $ 与 $ Y $ 如何影响平价期权价格的短时渐近行为？
• RQ2 当加入布朗运动分量时，平价期权价格短时展开中二阶项的精确形式是什么？
• RQ3 正负跳跃相对频率的依赖关系在渐近展开中如何体现？
• RQ4 所提出的方法能否获得期权价格与隐含波动率的三阶渐近行为？
• RQ5 在实际应用中，二阶近似方法相较于一阶近似方法的精度如何？

主要发现

• 在纯跳跃的CGMY模型中，主导项的阶为 $ t^{1/Y} $，其系数依赖于 $ C $ 与 $ Y $，反映了二者对一阶行为的联合影响。
• 在跳扩散扩展模型中，二阶项的尺度为 $ d_2 t^{(3-Y)/2} $，其中 $ d_2 $ 仅依赖于 $ C $ 与 $ Y $，与跳跃不对称性无关。
• 在纯跳跃模型中，二阶项的阶为 $ t $，其系数依赖于正负跳跃的相对频率，且其衰减速率与 $ Y $ 无关。
• 推导出平价期权价格的三阶渐近行为，为到期日附近的更精细近似提供了支持。
• 分析了相应Black-Scholes隐含波动率的渐近行为，表明高阶项在到期日附近显著影响隐含波动率偏斜。
• 数值结果证实，一阶近似表现较差，而二阶项在短期期限内显著提升了近似精度。