[论文解读] High-order Solution Transfer between Curved Triangular Meshes

Danny Hermes, Per-Olof Persson|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2018

Dynamics and Control of Mechanical Systems参考文献 24被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种基于格林定理精确积分的保守高阶解转移方法，用于曲边三角形网格之间的质量矩阵乘积计算，通过曲形单元交集实现。该方法在 $p$ 阶等参数化单元上实现了最优的 $\boldsymbol{\text{O}}(h^{p+1})$ 收敛率，适用于高阶拉格朗日和自适应有限元模拟中的精确且保守的重映射。

ABSTRACT

The problem of solution transfer between meshes arises frequently in computational physics, e.g. in Lagrangian methods where remeshing occurs. The interpolation process must be conservative, i.e. it must conserve physical properties, such as mass. We extend previous works -- which described the solution transfer process for straight sided unstructured meshes -- by considering high-order isoparametric meshes with curved elements. To facilitate solution transfer, we numerically integrate the product of shape functions via Green's theorem along the boundary of the intersection of two curved elements. We perform a numerical experiment and confirm the expected accuracy by transferring test fields across two families of meshes.

研究动机与目标

• 开发一种用于高阶等参数化曲边三角形网格的保守解转移算法，这对于流体动力学和固体力学中的高保真模拟至关重要。
• 解决曲边网格单元重叠中出现的非凸形和多组件交集问题，这些复杂性使得传统重映射方法难以处理。
• 在拉格朗日方法和ALE方法中进行网格自适应或重划分时，确保物理量（如质量、能量）的全局守恒。
• 将现有保守插值技术——此前仅限于直边网格——扩展至曲边高阶几何结构，实现最优收敛速率。

提出的方法

• 利用格林定理将形状函数乘积的体积分转化为曲边源单元与目标单元交界处的边界积分，实现精确的数值积分。
• 采用贝齐埃三角形表示法对曲边单元进行建模，以精确描述曲边边界，并通过专为二次及以上阶次单元设计的几何算法计算交集。
• 应用扩展前沿算法系统识别并处理源网格与目标网格之间的所有相交单元对，确保对整个区域的完整覆盖。
• 通过预先计算的多项式乘积原函数，在所得曲边多边形交集中执行高阶积分，避免积分误差。
• 使用全局坐标基表示形状函数，确保源单元与目标单元形状函数乘积仍为多项式，从而实现系数的精确计算与原函数的精确求解。
• 通过在目标网格上使用质量矩阵的伽辽金型 $L^2$-最小化方法求解离散投影问题，误差仅由线性系统求解精度决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单元交集为非凸形且多组件的高阶等参数化曲边三角形网格之间，如何实现保守的解转移？
• RQ2 何种数值积分策略可实现在曲边网格上重映射时物理量的机器精度守恒？
• RQ3 尽管存在非线性几何结构，高阶解转移在曲边网格上是否仍能实现预期的 $\text{O}(h^{p+1})$ 收敛率？
• RQ4 与标准曲边域积分相比，使用格林定理和多项式乘积原函数如何提升精度与稳定性？

主要发现

• 所提方法在 $p$ 阶等参数化曲边三角形网格上的解转移中实现了 $\text{O}(h^{p+1})$ 收敛率，数值实验验证了理论预期。
• 通过格林定理的精确积分与多项式原函数的精确计算，该算法实现了全局守恒至机器精度。
• 对于三次测试函数 ($\boldsymbol{\text{ζ}}_1$)，该方法在曲边网格上未能实现精确转移，原因在于等参数映射改变了函数空间，揭示了曲边单元的几何复杂性。
• 使用全局坐标基可精确计算多项式乘积及其原函数，避免积分误差，提升算法鲁棒性。
• 该算法本质上是局部的，可通过域分解实现并行化，因为扩展前沿方法限制了子域间的数据交换。
• 该方法对连续与不连续场均具有鲁棒性，因为积分仅限于源单元与目标单元的交集区域，从而保持了局部精度。