[论文解读] High order well-balanced finite volume methods for multi-dimensional systems of hyperbolic balance laws

Jonas P. Berberich, Praveen Chandrashekar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 12, 2019

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种适用于多维双曲平衡律的一般高阶良好平衡有限体积框架，通过演化相对于目标解的偏差，精确保持任何已知的静止或时变解（解析或离散）——无论是静态、稳态还是时变解。该方法保持高阶精度，仅需极少的代码修改，即使在高阶格式下，计算成本也仅增加5–30%。

ABSTRACT

We introduce a general framework for the construction of well-balanced finite volume methods for hyperbolic balance laws. We use the phrase well-balancing in a broader sense, since our proposed method can be applied to exactly follow any solution of any system of hyperbolic balance laws in multiple spatial dimensions and not only time independent solutions. The solution has to be known a priori, either as an analytical expression or as discrete data. The proposed framework modifies the standard finite volume approach such that the well-balancing property is obtained and in case the method is high order accurate, this is maintained under our modification. We present numerical tests for the compressible Euler equations with and without gravity source term and with different equations of state, and for the equations of compressible ideal magnetohydrodynamics.

研究动机与目标

• 开发一种通用框架，用于构建适用于多维空间中任意双曲平衡律系统的高阶良好平衡有限体积方法。
• 实现对任意已知解（静态、稳态或时变）的精确保持，而无需限制于特定状态方程或静力平衡假设。
• 在仅修改源项离散化和重构策略的前提下保持高阶精度，确保与现有有限体积求解器的兼容性。
• 在包含重力的可压缩Euler方程和理想MHD等复杂系统上展示方法的鲁棒性与高效性，包括具有非零速度的非平凡稳态解。
• 量化不同精度阶次和解类型下良好平衡修改带来的计算成本增加。

提出的方法

• 该方法将有限体积格式重新表述为演化相对于已知目标解的偏差，而非解本身，从而确保在目标解上的精确性。
• 采用适应于任意目标解的静力重构原理，重构基于已知解的结构。
• 通过良好平衡的求积策略修改源项，在离散层面精确平衡通量与源项。
• 该框架兼容任意一致的重构方法、数值通量、求积规则和时间积分器，从而实现任意高阶精度。
• 该方法在结构化的笛卡尔网格和极坐标网格上实现，支持静态和时变目标解。
• 对于离散目标解（如来自数值模拟的结果），该方法使用预计算的数据数组以保持精度与效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种通用的有限体积框架，以精确保持任意双曲平衡律的已知解，无论系统或解的类型如何？
• RQ2 当解并非简单静态状态时，如何在良好平衡格式中保持高阶精度？
• RQ3 对时变或复杂稳态解强制实施良好平衡的计算开销是多少？
• RQ4 该方法能否应用于具有复杂状态方程或非平凡速度场的系统，例如差速旋转恒星？
• RQ5 良好平衡修改的计算成本如何随精度阶次的提高而变化？

主要发现

• 该方法能精确保持包含重力的可压缩Euler方程和理想MHD的静态与稳态解，即使在复杂状态方程或非零速度场的情况下亦然。
• 在一维静态解情况下，一阶和二阶方法的计算成本仅增加约20%，而七阶方法仅增加5%。
• 在具有开普勒盘（稳态、时间无关）的极坐标网格上，一阶良好平衡格式的成本增加低于20%，二阶格式低于10%。
• 对于时变解（带扰动的Euler波），一阶方法的运行时间比最高达30%，而三阶方法仅增加约15%。
• 所有数值实验中，该方法均保持高阶精度，观测到的收敛率与理论预期一致。
• 该框架可轻松集成到现有有限体积代码中，仅需极少修改，主要涉及源项和重构策略的调整。