[论文解读] High rate locally correctable codes via lifting

Alan Guo|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2013

Advanced Data Storage Technologies被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种新颖的提升框架，用于构建高码率、亚线性查询复杂度的局部可纠正码，实现码率任意接近1的同时纠正常数比例的错误。通过利用曲线的自同构群对代数几何码（特别是赫尔米特码）进行提升，该方法突破了先前度提升技术的码率限制，实现了查询复杂度 $N^\tau$ 和码率 $1 - \alpha$（对任意 $ au, \alpha > 0$），字母表大小为 $N^{\epsilon/3}$。

ABSTRACT

We present a general framework for constructing high rate error correcting codes that are locally correctable (and hence locally decodable if linear) with a sublinear number of queries, based on lifting codes with respect to functions on the coordinates. Our approach generalizes the lifting of affine-invariant codes of Guo, Kopparty, and Sudan and its generalization automorphic lifting, suggested by Ben-Sasson et al, which lifts algebraic geometry codes with respect to a group of automorphisms of the code. Our notion of lifting is a natural alternative to the degree-lifting of Ben-Sasson et al and it carries two advantages. First, it overcomes the rate barrier inherent in degree-lifting. Second, it is extremely flexible, requiring no special properties (e.g. linearity, invariance) of the base code, and requiring very little structure on the set of functions on the coordinates of the code. As an application, we construct new explicit families of locally correctable codes by lifting algebraic geometry codes. Like the multiplicity codes of Kopparty, Saraf, Yekhanin and the affine-lifted codes of Guo, Kopparty, Sudan, our codes of block-length $N$ can achieve $N^ε$ query complexity and $1-α$ rate for any given $ε, α> 0$ while correcting a constant fraction of errors, in contrast to the Reed-Muller codes and the degree-lifted AG codes of Ben-Sasson et al which face a rate barrier of $ε^{O(1/ε)}$. However, like the degree-lifted AG codes, our codes are over an alphabet significantly smaller than that obtained by Reed-Muller codes, affine-lifted codes, and multiplicity codes.

研究动机与目标

• 克服现有局部可纠正码在亚线性查询复杂度下码率受限于 $\epsilon^{O(1/\epsilon)}$ 的码率障碍。
• 开发一种适用于非不变和非线性基码的一般性提升框架，且无需强结构假设。
• 构造显式、高码率的局部可纠正码，其查询复杂度为 $N^\epsilon$，码率为 $1 - \alpha$（对任意 $\epsilon, \alpha > 0$）。
• 证明利用提升的代数几何码可实现接近1的码率，且字母表大小较小。
• 建立利用曲线自同构群进行提升可同时实现高码率和良好距离，同时保持局部可纠正性。

提出的方法

• 提出一种新的提升操作，推广仿射提升与自同构提升，利用基码坐标上的群作用。
• 通过赫尔米特曲线的自同构群定义提升结构，将提升方法应用于代数几何码（特别是赫尔米特码）。
• 将提升码定义为在乘积空间 $H^m$ 上满足特定在变性条件的函数集合，该条件由提升后的群作用所决定。
• 引入“良好”单项式的概念，其构成提升码的基，从而实现显式构造与高效编码。
• 利用自同构群的双重传递性，确保提升码继承基码的良好距离特性。
• 采用概率与组合论证方法，对码率与查询复杂度进行上界估计，表明随着参数增大，码率趋近于1。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种提升框架，以克服局部可纠正码中度提升带来的码率限制？
• RQ2 该类提升框架能否在不依赖特殊代数结构的前提下，应用于非不变与非线性基码？
• RQ3 能否通过代数几何码的提升，构造出具有亚线性查询复杂度的高码率局部可纠正码？
• RQ4 基于赫尔米特曲线的提升码中，码率、查询复杂度与字母表大小之间的权衡关系如何？
• RQ5 利用自同构群进行提升是否能保持足够的距离与局部可纠正性，以支持实际错误纠正？

主要发现

• 所提出的提升框架克服了度提升中固有的码率障碍，实现了对任意 $\alpha > 0$ 的码率 $1 - \alpha$。
• 对任意 $\epsilon, \alpha > 0$，该构造生成一个块长为 $N$ 的码，其查询复杂度为 $N^\epsilon$，码率至少为 $1 - \alpha$。
• 所得码的字母表大小为 $N^{\epsilon/3}$，显著小于瑞德-穆勒码或多重性码的字母表大小。
• 提升后的赫尔米特码具有 $\Omega(N)$ 的距离，可纠正常数比例的错误，且距离在提升过程中得以保持。
• 该码可显式构造：通过自同构群导出的“良好”单项式基，编码可在多项式时间内完成。
• 提升码的码率下界为 $1 - e^{-c/(b \cdot 2^{mb})}$，当 $c \geq b \cdot 2^{mb} \ln(1/\alpha)$ 时，该下界超过 $1 - \alpha$。