[论文解读] High Reynolds number and high Weissenberg number Oldroyd-B model with dissipation

Peter Constantin, Jiahong Wu+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2020

Navier-Stokes equation solutions参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文建立了在应力方程中具有分数阶波数依赖耗散 $(-\Delta)^\beta$ 的高雷诺数与高魏森伯格数 Oldroyd-B 模型的小数据全局适定性，证明了当 $\beta \geq \frac{1}{2}$ 时，即使速度方程中不存在经典黏性耗散，全局解也存在且一致有界。

ABSTRACT

We give a small data global well-posedness result for an incompressible Oldroyd-B model with wave number dissipation in the equation of stress tensor. The result is uniform in solvent Reynolds numbers, and requires only fractional wave-number dependent dissipation $(-Δ)^β$, $β\ge \frac{1}{2}$ in the added stress.

研究动机与目标

• 解决在极端流体条件下（高雷诺数，惯性主导；高魏森伯格数，强弹性效应）Oldroyd-B 模型光滑解的全局存在性问题。
• 通过引入波数依赖耗散而非经典黏度，克服非耗散 Oldroyd-B 系统中有限时间奇性形成的问题。
• 在小初值假设下建立全局适定性，即使溶剂雷诺数可任意大。
• 研究确保全局存在的最小耗散强度，聚焦于分数阶拉普拉斯耗散 $(-\Delta)^\beta$。
• 提供与雷诺数无关的结果，展示在极端流体参数下解框架的鲁棒性。

提出的方法

• 构建一个改进的 Oldroyd-B 系统，其中应力 $\tau = \sigma - \mathbb{I}$ 受分数阶拉普拉斯耗散项 $\eta (-\Delta)^\beta \tau$ 控制，且 $\beta \geq \frac{1}{2}$。
• 在 Sobolev 空间 $H^s$（$s > 1 + d/2$）中采用小初值框架，以保证正则性并控制非线性项。
• 应用涉及速度 $u$ 和应力 $\tau$ 的 $H^s$-范数的能量估计，结合分数阶耗散以控制非线性相互作用。
• 利用 dyadic 分解与傅里叶分析，通过 $L^\infty$ 和 $L^2$ 估计界非线性项，利用初值的小性。
• 在能量-耗散平衡上应用 Gronwall 不等式，证明解的一致有界性与全局存在性。
• 引入一个改进的能量泛函，结合 $\|\delta u\|_{H^\beta}^2$、$\|\delta\tau\|_{H^\beta}^2$ 以及一个耦合项，以控制解之间的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 在动量方程中无经典黏性耗散的情况下，能否在高雷诺数与高魏森伯格数下为 Oldroyd-B 模型建立全局光滑解？
• RQ2 波数依赖耗散 $(-\Delta)^\beta$ 的最小强度为何值时，可确保小数据全局适定性？
• RQ3 小数据全局适定性结果是否在溶剂雷诺数上一致，从而允许惯性效应任意大？
• RQ4 当 $\beta < \frac{1}{2}$ 时系统会发生什么？为何 $\beta \geq \frac{1}{2}$ 是此框架中的临界阈值？
• RQ5 若应力方程中无阻尼项（意味着魏森伯格数为无穷大），能否通过分数阶耗散来补偿以防止解爆破？

主要发现

• 系统 (1.6) 对任意 $\beta \geq \frac{1}{2}$ 均存在唯一全局解，即使速度方程中无黏性耗散。
• 对于 $H^s$ 中的小初值（$s > 1 + d/2$），解在时间上保持一致有界：$\|u\|_{H^s} + \|\tau\|_{H^s} \leq C\varepsilon$。
• 该结果在溶剂雷诺数上一致，意味着无论 $Re$ 多么大，该界均成立。
• 分数阶耗散且 $\beta \geq \frac{1}{2}$ 足够控制非线性项并防止爆破，即使魏森伯格数形式上为无穷大。
• 证明依赖于基于 $H^\beta$-范数的能量估计，以及一个精心构造的能量泛函，其中包含耦合项以稳定系统。
• 当 $\beta < \frac{1}{2}$ 时，小数据全局适定性不成立，此情况仍为开放问题。