[论文解读] High-temperature asymptotics of the 4d superconformal index

Arash Arabi Ardehali|arXiv (Cornell University)|May 19, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 55被引用 9

一句话总结

本文通过椭圆超几何积分（EHIs）的双曲极限，研究了幺正拉格朗日量超对称共形场论（SCFT）中4维超共形指数在高温极限下的渐近行为。通过分析指数的大N极限，推导出AdS$_5$/CFT$_4$中全息Weyl异常的次领头$1/N$修正的一般解，揭示了在$\beta \to 0$区域内的丰富结构，并严格推导出在Veneziano极限下$A_k$ SQCD指数的猜想形式。

ABSTRACT

The superconformal index of a typical Lagrangian 4d SCFT is given by a special function known as an elliptic hypergeometric integral (EHI). The high-temperature limit of the index corresponds to the hyperbolic limit of the EHI. The hyperbolic limit of certain special EHIs has been analyzed by Eric Rains around 2006; extending Rains's techniques, we discover a surprisingly rich structure in the high-temperature limit of a (rather large) class of EHIs that arise as the superconformal index of unitary Lagrangian 4d SCFTs with non-chiral matter content. Our result has implications for $\mathcal{N}=1$ dualities, the AdS/CFT correspondence, and supersymmetric gauge dynamics on $R^3 imes S^1$. We also investigate the high-temperature asymptotics of the large-N limit of the superconformal index of a class of holographic 4d SCFTs (described by toric quiver gauge theories with SU(N) nodes). We show that from this study a rather general solution to the problem of holographic Weyl anomaly in AdS$_5$/CFT$_4$ at the subleading order (in the 1/N expansion) emerges. Most of this dissertation is based on published works by Jim Liu, Phil Szepietowski, and the author. We include here a few previously unpublished results as well, one of which is the high-temperature asymptotics of the superconformal index of puncture-less SU(2) class-$\mathcal{S}$ theories.

研究动机与目标

• 理解具有非手征物质的4维幺正拉格朗日量SCFT中超共形指数的高温行为。
• 将Rains的双曲极限技术扩展至此类SCFT中出现的广泛类椭圆超几何积分（EHIs）。
• 从超共形指数的大N极限推导出AdS$_5$/CFT$_4$中全息Weyl异常的次领头$1/N$修正。
• 严格确立无 puncture 的$\mathcal{N}=1$类-$\mathcal{S}$理论指数的渐近形式。
• 通过计算$\beta$-无关项$I^*_\tilde{f}$，解决在Veneziano极限下$A_k$ SQCD指数的猜想问题。

提出的方法

• 通过椭圆超几何积分（EHIs）的双曲极限分析超共形指数在高温（$\beta \to 0$）极限下的行为。
• 在减去主导发散项后，应用Zagier方法对形如$\sum_{n=1}^\infty f(n\beta)$的求和进行渐近分析。
• 将单迹指数$I_{\text{s.t.}}(\beta)$作为输入，通过$\ln \mathcal{I}^{N\to\infty}(\beta) \sim \frac{\pi^2}{6\beta} I_{-1} + I_0 \ln(1/\beta) + I^*_\tilde{f} + \sum_{m=1}^\infty I_m \zeta(-m+1) \beta^m$计算完整指数的渐近行为。
• 通过EHIs结构，将单迹指数$I_{\text{s.t.}}(\beta)$的渐近展开按$\beta$的幂次展开，识别出系数$I_{-1}, I_0, I_1, \dots$。
• 将该方法应用于Veneziano极限下的$A_k$ SQCD，显式计算出$I_{-1}, I_0, I_1$关于$b$, $k$, $N_c$, 和$N_f$的表达式。
• 通过严格计算指数渐近展开中此前未确定的常数项$I^*_\tilde{f}(b)$，证明了[23]中的猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 幺正拉格朗日量4维SCFT中具有非手征物质的超共形指数的高温渐近行为是什么？
• RQ2 椭圆超几何积分（EHIs）的双曲极限如何揭示高温下指数的结构？
• RQ3 从超共形指数的大N极限推导出的AdS$_5$/CFT$_4$中全息Weyl异常的次领头$1/N$修正是什么？
• RQ4 在Veneziano极限下，$A_k$ SQCD指数渐近展开中$\beta$-无关项$I^*_\tilde{f}(b)$的精确形式是什么？
• RQ5 Zagier的方法如何被调整以计算大N指数对数的完整渐近展开？

主要发现

• 具有非手征物质的幺正拉格朗日量4维SCFT中超共形指数的高温渐近行为由EHIs的双曲极限中的丰富结构所主导，扩展了Rains的结果。
• 超共形指数的大N极限导出AdS$_5$/CFT$_4$中全息Weyl异常的次领头$1/N$修正的一般解，表达式为$\ln \mathcal{I}^{N\to\infty}(\beta) \sim \frac{\pi^2}{6\beta} I_{-1} + I_0 \ln(1/\beta) + I^*_\tilde{f} + \sum_{m=1}^\infty I_m \zeta(-m+1) \beta^m$。
• 在Veneziano极限下的$A_k$ SQCD中，[23]中的猜想被严格推导，此前未确定的常数项$I^*_\tilde{f}(b)$现已显式计算。
• 渐近展开中的系数$I_{-1}$为$\frac{2k^3 + 3k^2 - 1}{4k(1+k)} \cdot \frac{1}{(b+b^{-1})/2} + \frac{16kN_c^2 - 8k^2 + 8k}{4k(1+k)} \cdot \frac{b+b^{-1}}{2}$，捕捉了主导的$\beta^{-1}$发散行为。
• 系数$I_0 = -1/2$在该类理论的高温极限下是普遍的，而$I_1$为$-\left( \frac{4}{27}(b+b^{-1})^3(3c-2a) + \frac{4}{3}(b+b^{-1})(a-c) \right)$，贡献于指数中的$\beta$-线性项。
• 该方法成功计算了$\beta$-无关项$I^*_\tilde{f}(b)$，该常数项此前在[23]的猜想中未被确定，从而完整了$A_k$ SQCD指数的渐近展开。