[论文解读] High-temperature thermalization implies the emergence of quantum state designs

Henrik Wilming, Ingo Roth|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2022

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics被引用 4

一句话总结

本文证明，当小子系统在高温热化时——即其密度矩阵接近最大混合态——若对互补子系统进行随机正交基测量，则测量后态的集合必然涌现出近似量子态 $k$-设计。关键结果为：在任意大系统中，只要子系统接近最大混合态，几乎所有测量基（在哈尓测度下以高概率）都会产生 $\epsilon$-近似 $k$-设计，从而在一般意义上建立了热化与量子设计涌现之间的联系，超越了特定模型的限制。

ABSTRACT

It was recently observed that in certain thermalizing many-body systems, measuring the complement of a subsystem that thermalized to infinite temperature in a suitable orthonormal basis gives rise to approximate quantum state k-designs as post-measurement states on the subsystem. We prove that this emergence of approximate k-designs holds true in every large system where some small subsystem is close to being maximally mixed. On a technical level we show that any high-dimensional purification of an approximately maximally mixed state induces an approximate quantum state k-design when measured in a suitable orthonormal basis. Moreover, we show that this is true with overwhelming probability for measurement bases chosen uniformly at random from the Haar measure.

研究动机与目标

• 建立高温热化与测量后系综中量子态设计涌现之间的一般联系。
• 证明近似 $k$-设计不仅在特定模型中出现，而且在子系统接近最大混合态时普遍涌现。
• 证明该现象在哈尓测度下采样测量基时以极大概率发生。
• 提供严格证明，表明约化密度矩阵的热化意味着测量后系综中更高阶量子设计的涌现。

提出的方法

• 证明任意高维纯化近似最大混合态的态，当在合适的正交基上测量时，会诱导出近似 $k$-设计。
• 利用随机矩阵理论和测度集中性，证明哈尓随机测量基以高概率产生 $\epsilon$-近似 $k$-设计。
• 通过系综的 $k$ 重张量积与纯态上的哈尓平均之间的迹距离，定义 $\epsilon$-近似 $k$-设计。
• 利用算子范数估计和迹不等式，建立测量系综的 $k$ 阶矩与哈尓平均之间偏差的利普希茨界。
• 应用高斯测度集中不等式，限制系综偏离 $k$-设计的概率，从而导出对 $M = \dim(\mathcal{H}_{\bar{A}})$ 的样本大小要求。
• 推导出互补子系统维数 $M$ 的充分条件，使得测量后系综以至少 $1 - \Delta$ 的概率成为 $\epsilon$-近似 $k$-设计。

实验结果

研究问题

• RQ1 高温热化——定义为子系统的约化密度矩阵与最大混合态的迹距离很小——是否必然导致测量后系综中量子态 $k$-设计的涌现？
• RQ2 在哪些测量基下，测量后系综近似为 $k$-设计，且其概率如何？
• RQ3 能否在不依赖特定模型假设或对称性的前提下，通用性地保证 $k$-设计的涌现？
• RQ4 为确保以高概率获得 $\epsilon$-近似 $k$-设计，互补子系统的最小维数是多少？
• RQ5 实现 $k$-设计失败的概率如何随系统大小和 $k$ 变化？

主要发现

• 若小子系统 $A$ 的约化密度矩阵与最大混合态的迹距离 $\delta < \frac{1}{2d_A}$，则测量后系综为 $\epsilon$-近似 $k$-设计。
• 对任意 $\epsilon' > 0$，$\Delta > 0$，$k \in \mathbb{N}$，若互补子系统维数 $M$ 满足 $M > \frac{4(2k-1)^2 d_A^{2k-1}}{\epsilon'^2} \log\left(\frac{2d_A^{2k}}{\Delta}\right)$，则测量后系综以至少 $1 - \Delta$ 的概率为 $\epsilon$-近似 $k$-设计。
• 当测量基从酉群上的哈尓测度中均匀随机选取时，该结果以极大概率成立。
• $k$-设计的涌现并非局限于特定模型或如计算基等特定基，而是在随机测量下具有普遍性。
• 偏差泛函的利普希茨常数有界于 $\frac{2(2k-1)}{\sqrt{d_A}}$，从而支持测度集中性论证。
• 本文确立了无限温热化已足够引发 $k$-设计的涌现，即使在无额外对称性或可积性条件时亦成立。