[论文解读] Higher Airy structures, W algebras and topological recursion

Gaëtan Borot, Vincent Bouchard+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 54被引用 20

一句话总结

本文将Kontsevich–Soibelman的量子Airy结构推广为更高阶的量子Airy结构，允许任意阶微分算子。它从$χ$-代数在自对偶水平下（对应$χ = τ_{N+1}, σ_{2N}, ε_N$）构造这些结构，并通过$χ$-代数约束建立其与拓扑递归的等价性，提供了一种类Givental分解，并对定义良好的递归所对应的可接受谱曲线给出了新表征。

ABSTRACT

We define higher quantum Airy structures as generalizations of the Kontsevich-Soibelman quantum Airy structures by allowing differential operators of arbitrary order (instead of only quadratic). We construct many classes of examples of higher quantum Airy structures as modules of $\mathcal{W}(\mathfrak{g})$ algebras at self-dual level, with $\mathfrak{g}= \mathfrak{gl}_{N+1}$, $\mathfrak{so}_{2 N }$ or $\mathfrak{e}_N$. We discuss their enumerative geometric meaning in the context of (open and closed) intersection theory of the moduli space of curves and its variants. Some of these $\mathcal{W}$ constraints have already appeared in the literature, but we find many new ones. For $\mathfrak{gl}_{N+1}$ our result hinges on the description of previously unnoticed Lie subalgebras of the algebra of modes. As a consequence, we obtain a simple characterization of the spectral curves (with arbitrary ramification) for which the Bouchard-Eynard topological recursion gives symmetric $ω_{g,n}$s and is thus well defined. For all such cases, we show that the topological recursion is equivalent to $\mathcal{W}(\mathfrak{gl})$ constraints realized as higher quantum Airy structures, and obtain a Givental-like decomposition for the corresponding partition functions.

研究动机与目标

• 通过允许任意阶微分算子，将量子Airy结构从二次情形推广至更一般情形。
• 从自对偶水平下的$χ(τ_{N+1})$、$χ(σ_{2N})$和例外型$χ(ε_N)$代数构造更高阶量子Airy结构。
• 建立这些更高阶量子Airy结构与Bouchard–Eynard拓扑递归之间关于对称$ω_{g,n}$形式的对应关系。
• 为拓扑递归定义良好的谱曲线提供一种新表征，包括任意分支点情形。
• 推导与这些结构相关的划分函数的类Givental分解。

提出的方法

• 将更高阶量子Airy结构定义为微分算子族$H_k = θ\partial_{x_k} - P_k$，其中$P_k$为$θ$-加权代数中关于微分算子的齐次二次型。
• 通过此前未被注意的模式代数的李子代数，从自对偶水平下的$χ(τ_{N+1})$、$χ(σ_{2N})$和$χ(ε_N)$代数构造具体例子。
• 证明所得算子生成一个分次李子代数，从而确保约束条件解的存在性与唯一性。
• 通过留数公式与对称形式，建立更高阶抽象环路方程与Bouchard–Eynard拓扑递归之间的等价性。
• 利用谱曲线条件$r \equiv \pm1 \mod s$，表征使拓扑递归产生对称$ω_{g,n}$的可接受曲线。
• 从更高阶量子Airy结构推导出划分函数$Z = \exp(\sum \hbar^{g-1} F_{g,n} x_{\alpha_1} \cdots x_{\alpha_n} / n!)$的类Givental分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二次情形之外，哪些更高阶微分算子可以构成一致的量子Airy结构？
• RQ2 如何利用自对偶水平下的$χ$-代数构造$τ_{N+1}$、$σ_{2N}$和例外型的更高阶量子Airy结构？
• RQ3 在何种谱曲线条件下，Bouchard–Eynard拓扑递归能产生对称$ω_{g,n}$形式？
• RQ4 更高阶抽象环路方程能否以保证对称性与定义良好性的方式导出拓扑递归？
• RQ5 由更高阶量子Airy结构产生的划分函数具有何种类Givental分解结构？

主要发现

• 本文从自对偶水平下的$χ(τ_{N+1})$、$χ(σ_{2N})$和$χ(ε_N)$代数构造了新的更高阶量子Airy结构类，扩展了已知的Virasoro型约束。
• 在$χ(τ_{N+1})$的模式代数中识别出一类新的李子代数，从而实现了更高阶Airy结构的构造。
• 对于满足$r \equiv \pm1 \mod s$的谱曲线，Bouchard–Eynard拓扑递归产生对称$ω_{g,n}$形式，且该结果与作为更高阶量子Airy结构实现的$χ(τ_{N+1})$-代数约束等价。
• 对于可接受的谱曲线，更高阶抽象环路方程的解存在且唯一，从而为该类曲线中拓扑递归的定义良好性提供了直接证明。
• 与这些结构相关的划分函数具有类Givental分解，其系数$F_{g,n}$由生成函数$Z = \exp(\sum \hbar^{g-1} F_{g,n} / n! \cdot \prod x_{\alpha_i})$编码。
• 本工作通过更高阶Airy结构提供了一种新且独立的证明（绕过[17]中的间接论证），表明拓扑递归对可接受曲线产生对称形式。