[论文解读] Higher analytic torsion of sphere bundles and continuous cohomology of $Diff(S^{2n-1})$

Ulrich Bunke|ArXiv.org|Feb 20, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用 5

一句话总结

本文利用Bismut-Lott的 torsion 形式，为光滑球丛构造了更高阶解析 torsion 类，并将其应用于定义奇维球面微分同胚群 $ \mathrm{Diff}(S^{2n-1})$  的非平凡连续群上同调类。关键结果是在球丛来源于复向量丛的情形下，对这些类进行了显式计算，揭示了连续上同调中的新不变量。

ABSTRACT

Using the higher analytic torsion form of Bismut and Lott we construct a characteristic class for smooth sphere bundles. We calculate this class in the case where the sphere bundle comes from a complex vector bundle. Related to these characteristic classes we define nontrivial continuous group cohomology classes of the diffeomorphism group of odd dimensional spheres.

研究动机与目标

• 使用更高阶解析 torsion 形式为光滑球丛定义特征类。
• 通过几何不变量探索微分同胚群 $\mathrm{Diff}(S^{2n-1})$ 的连续上同调。
• 在球丛来源于复向量丛的情形下，显式计算这些特征类。
• 建立结果上同调类在连续群上同调中的非平凡性。
• 将解析 torsion 不变量与奇维球面微分同胚群的拓扑不变量相联系。

提出的方法

• 利用 Bismut 和 Lott 引入的更高阶解析 torsion 形式，为光滑球丛构造特征类。
• 将 torsion 形式应用于作为复向量丛球丛获得的球丛。
• 在 de Rham 上同调中构造一个特征类，该类可上延至 $\mathrm{Diff}(S^{2n-1})$ 的连续群上同调。
• 在纤维丛的背景下，利用 Chern-Weil 理论框架将曲率与特征类联系起来。
• 利用框架丛的结构及全空间上的联络数据来计算 torsion 形式。
• 依赖连续群上同调理论，将所得类解释为微分同胚群的不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用更高阶解析 torsion 为光滑球丛定义特征类？
• RQ2 这些类是否在 $\mathrm{Diff}(S^{2n-1})$ 的连续上同调中产生非平凡不变量？
• RQ3 当球丛来源于复向量丛时，更高阶解析 torsion 类的显式形式是什么？
• RQ4 这些类与微分几何中已知的特征类有何关系？
• RQ5 这些结果上同调类在自然几何构造下是否稳定或可检测？

主要发现

• 更高阶解析 torsion 形式为光滑球丛在 de Rham 上同调中给出了明确定义的特征类。
• 该特征类可上延为 $\mathrm{Diff}(S^{2n-1})$ 的非平凡连续群上同调类。
• 对于源自复向量丛的球丛，torsion 类可显式计算且非零。
• 该构造在 $\mathrm{Diff}(S^{2n-1})$ 的度数 $2n-1$ 上实现了非平凡连续上同调类的几何实现。
• 结果建立了分析 torsion 与奇维球面微分同胚群连续上同调之间的联系。
• 该方法表明，更高阶解析 torsion 可检测超越经典特征类的拓扑不变量。